Question

【題目】如圖，已知四棱錐，底面為邊長為2的菱形，平面，，，分別是，的中點(diǎn).

（1）判定與是否垂直，并說明理由；

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）垂直，證明過程詳見解析；（Ⅱ）．

【解析】

試題（1）判斷垂直．證明AE⊥BC．PA⊥AE．推出AE⊥平面PAD，然后證明AE⊥PD．

（2）由（1）知AE，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面AEF的一個(gè)法向量，平面AFC的一個(gè)法向量．通過向量的數(shù)量積求解二面角的余弦值．

解：（1）垂直．

證明：由四邊形ABCD為菱形，∠ABC=60°，

可得△ABC為正三角形．

因?yàn)?/span>E為BC的中點(diǎn)，所以AE⊥BC．

又BC∥AD，因此AE⊥AD．

因?yàn)?/span>PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，

所以PA⊥AE．

而PA平面PAD，AD平面PAD且PA∩AD=A，

所以AE⊥平面PAD，又PD平面PAD，

所以AE⊥PD．

（2）由（1）知AE，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，又E，F分別為BC，PC的中點(diǎn)，∴A（0，0，0），，，D（0，2，0），P（0，0，2），，，

所以，．

設(shè)平面AEF的一個(gè)法向量為，則，

因此，取z1=﹣1，則．

因?yàn)?/span>BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，

所以BD⊥平面AFC，故為平面AFC的一個(gè)法向量．

又，所以．

因?yàn)槎�面�?/span>E﹣AF﹣C為銳角，所以所求二面角的余弦值為．