Question

已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面為菱形的直四棱柱，P是棱DD₁的中點(diǎn)，∠BAD=60°，底面邊長(zhǎng)為2，若PB與平面ADD₁A₁成45°角，求點(diǎn)A₁到平面ACP的距離．

Answer 1

分析：取AD的中點(diǎn)為E，連接BE，PB，則BE⊥ADD₁A₁，則∠EPB為PB與平面ADD₁A₁所成的角．依題意可分別計(jì)算出BE，PB，PD，DD₁，進(jìn)而以O(shè)A為x軸，OB為y軸，OO₁為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A，C，P點(diǎn)可得，表示出

OA

和

PA

，設(shè)平面ACP的法向量

n

=（x，y，z），求得x，y和z，把

A1

A代入

A1A • n

n

中可求得d．

解答：解：取AD的中點(diǎn)為E，連接BE，PB，則BE⊥ADD₁A₁，
∠EPB為PB與平面ADD₁A₁所成的角．
經(jīng)計(jì)算BE=

3

，PB=

6

，PD=

2

，DD₁=2

2

以O(shè)A為x軸，OB為y軸，OO₁為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
A（

3

，0，0），C（-

3

，0，0），P（0，-1，

2

），

OA

=（2

3

，0，0），

PA

=（

3

，1，-

2

），
設(shè)平面ACP的法向量

n

=（x，y，z），
由

AC • n =0 PA • n =0

得

n

=（0，

2

，1），
而

A1

A=（0，0，2

2

），所以d=

A1A • n

n

=

2 6

3

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了點(diǎn)，線面間的距離計(jì)算．解題的關(guān)鍵是利用了法向量的知識(shí)來解決問題．