Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為梯形，，若棱，，兩兩垂直，長度分別為1，2，2，且向量與夾角的余弦值為.

（1）求的長度；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）2；（2）

【解析】

（1）如下圖建立空間直角坐標(biāo)系，由，可設(shè)，則，向量求出和的坐標(biāo)，利用與夾角的余弦值為，結(jié)合空間向量法求異面直線的夾角運(yùn)算公式，求出，即可求出；

（2）先求出平面的一個法向量，再通過空間向量法求線面角公式，即可求出直線與平面所成角的正弦值.

解：棱兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系如圖：

則，，，

∵，可設(shè)，∴

（1），，

則，

解得：，∴，

（2）易得，，

設(shè)平面的一個法向量，則

，令，則，

∴平面的一個法向量，

又，設(shè)直線與平面所成角為，，

則，

∴直線與平面所成角的正弦值為.