Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：，設(shè)是橢圓上任一點(diǎn)，從原點(diǎn)向圓：作兩條切線，分別交橢圓于點(diǎn)，.

（1）若直線，互相垂直，且圓心落在第一象限，求圓的圓心坐標(biāo)；

（2）若直線，的斜率都存在，并記為，.

①求證：；

②試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）①證明見解析②．

【解析】

（1）根據(jù)題意可知，，又點(diǎn)在橢圓上，列出方程即可求出；

（2）①設(shè)過點(diǎn)且與圓相切的切線方程為，根據(jù)直線與圓相切可列出關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理即可求出，即可證出；

②聯(lián)立直線與橢圓方程，即可求出，從而得到，由①所得結(jié)論即可求出．

（1）設(shè)直線，分別與圓相切于點(diǎn)，由幾何知識(shí)可知，四邊形為正方形，所以，又點(diǎn)在橢圓上，即 ，，解得，

而圓心落在第一象限，所以，故圓的圓心坐標(biāo)為．

（2）①設(shè)過點(diǎn)且與圓相切的切線方程為，所以，化簡(jiǎn)得，

，所以直線，的斜率，為方程的兩根，

即，而可得，所以，

即．

②由解得，，所以，

同理可得，，故

由①知，，代入上式可得，

．

故為定值，．