Question

已知底面是正方形的長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面邊長AB=6，側(cè)棱長AA₁=2

7

，它的外接球的球心為O，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是球O上任意一點(diǎn)，有以下判斷：
①PE長的最大值是9；
②三棱錐P-EBC體積最大值是15+3

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；
③存在過點(diǎn)E的平面，截球O的截面面積是8π；
④Q是球O上另一點(diǎn)，PQ=8，則四面體ABPQ體積的最大值為56；
⑤過點(diǎn)E的平面截球O所得截面面積最大時，B₁C垂直于該截面．
其中判斷正確的序號是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：球內(nèi)接多面體,棱柱的結(jié)構(gòu)特征

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：①求出外接球的直徑為

36+36+28

=10，半徑為5，可得OE=4，從而PE長的最大值是4+5=9，故正確；
②P到平面EBC的最大值為5+

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，利用體積公式，可求三棱錐P-EBC體積最大值；
③過點(diǎn)E的平面，截球O的截面面積最小是9π；
④當(dāng)PQ中點(diǎn)與C1D1中點(diǎn)重合，且PQ垂直于平面ABC₁D₁時，則四面體ABPQ體積為56；
⑤過側(cè)面C₁CB₁B是矩形，CB₁不垂直C₁B，BC₁不可能垂直于ABC₁D₁．

解答： 解：①∵底面是正方形的長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面邊長AB=6，側(cè)棱長AA₁=2

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，∴外接球的直徑為

36+36+28

=10，半徑為5，∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴OE=4，∴PE長的最大值是4+5=9，故正確；
②P到平面EBC的最大值為5+

7

，∵△EBC的面積為9，∴三棱錐P-EBC體積最大值是15+3

7

，故正確；
③過點(diǎn)E的平面，截球O的截面面積最小是9π，故不正確；
④當(dāng)PQ中點(diǎn)與C1D1中點(diǎn)重合，且PQ垂直于平面ABC₁D₁時，則四面體ABPQ體積為56，故正確；
⑤過側(cè)面C₁CB₁B是矩形，CB₁不垂直C₁B，BC₁不可能垂直于ABC₁D₁，故不正確．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評：本題考查命題的真假判斷，考查學(xué)生分析解決問題的能力，綜合性強(qiáng)，有難度．