Question

(本題滿分16分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分)
設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在與之間插入個(gè)1，構(gòu)成如下的新數(shù)列：，求這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)的和；、(3)在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成公差為的等差數(shù)列(如：在與之間插入1個(gè)數(shù)構(gòu)成第一個(gè)等差數(shù)列，其公差為；在與之間插入2個(gè)數(shù)構(gòu)成第二個(gè)等差數(shù)列，其公差為，…以此類推)，設(shè)第個(gè)等差數(shù)列的和是. 是否存在一個(gè)關(guān)于的多項(xiàng)式，使得對(duì)任意恒成立？若存在，求出這個(gè)多項(xiàng)式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

解：(1)設(shè)，由知，，………2分
解得， ∴…………………………………………………………………4分
(2)依題意，到為止新的數(shù)列共有項(xiàng)，…………………6分
令，得，
即到為止新的數(shù)列共有項(xiàng)…………………8分
故該數(shù)列的前項(xiàng)的和為
（或）………………10分
(3)依題意，；
要使，則，…………………………………14分
∴，即存在滿足條件. ………16分

略