Question

[2013·浙江高考]已知e為自然對數(shù)的底數(shù)，設(shè)函數(shù)f(x)＝(e^x－1)(x－1)^k(k＝1,2)，則(　　)

A．當(dāng)k＝1時，f(x)在x＝1處取到極小值

B．當(dāng)k＝1時，f(x)在x＝1處取到極大值

C．當(dāng)k＝2時，f(x)在x＝1處取到極小值

D．當(dāng)k＝2時，f(x)在x＝1處取到極大值

Answer 1

C

當(dāng)k＝1時，f(x)＝(e^x－1)(x－1)，
f′(x)＝xe^x－1，
∵f′(1)＝e－1≠0，
∴f(x)在x＝1處不能取到極值；
當(dāng)k＝2時，f(x)＝(e^x－1)(x－1)²，f′(x)＝(x－1)(xe^x＋e^x－2)，
令H(x)＝xe^x＋e^x－2，
則H′(x)＝xe^x＋2e^x>0，x∈(0，＋∞)．
說明H(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，
且H(1)＝2e－2>0，H(0)＝－1<0，
因此當(dāng)x₀<x<1(x₀為H(x)的零點)時，f′(x)<0，f(x)在(x_0,1)上為減函數(shù)．
當(dāng)x>1時，f′(x)>0，f(x)在(1，＋∞)上是增函數(shù)．
∴x＝1是f(x)的極小值點，故選C.