Question

【題目】已知函數(shù)，且時(shí)有極大值.

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）若為的導(dǎo)函數(shù)，不等式（為正整數(shù)）對任意正實(shí)數(shù)恒成立，求的最大值.（注：）.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）4.

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)在時(shí)f(x)有極大值得或，再檢驗(yàn)舍去，即得函數(shù)f(x)的解析式；（Ⅱ）原命題等價(jià)于，記，證明，原命題等價(jià)于等價(jià)于，記，求出k的最大值.

（Ⅰ）由，因?yàn)樵?/span>時(shí)f(x)有極大值，

所以，從而得或，

時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，

，∴在時(shí)f(x)有極小值，不合題意，舍去；

時(shí)，，此時(shí)，符合題意。

∴所求的 .

（Ⅱ）由（1）知，所以等價(jià)于等價(jià)于

，即，

記，則,

由，得x＞k+1，所以在(0,k+1)上單調(diào)遞減，在(k+1,+∞)上單調(diào)遞增，

所以，

對任意正實(shí)數(shù)恒成立，等價(jià)于，

即，

記因?yàn)?/span>在(0,+∞)上單調(diào)遞減，又，，∵，∴k=1,2,3,4， 故k的最大值為4.