Question

定義在R上的函數(shù)y=f（x），f（0）≠0，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞1，且對任意的a，b∈R，有f（a+b）=f（a）•f（b），
（Ⅰ） 求證：對任意的x∈R，恒有f（x）＞0；
（Ⅱ）若f（x）•f（2x-x²）＞1，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因?yàn)楫?dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞1，所以欲證對任意的x∈R，恒有f（x）＞0，所以只需證明x小于等于0時(shí)，恒有f（x）＞0即可．因?yàn)閷θ我獾腶，b∈R，有f（a+b）=f（a）•f（b），可以令a=b=0，就能求出f（0）的值，令ax，b=-x，就能判斷f（-x）的符號(hào)．
（Ⅱ）根據(jù)已知，函數(shù)對任意的a，b∈R，有f（a+b）=f（a）•f（b），可把要解的不等式f（x）•f（2x-x²）＞1化為f（-x²+3x）＞1，再借助函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可．

解答：解：（Ⅰ）令a=x，b=-x則 f（0）=f（x）f（-x）∴f（-x）=

1

f(x)

由已知x＞0時(shí)，f（x）＞1＞0，
當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，f（-x）＞0
∴f（-x）=

1

f(x)

＞0
又x=0時(shí)，f（0）=1＞0
∴對任意x∈R，f（x）＞0
（Ⅱ）當(dāng)b＞0時(shí)，有a+b＞b，有f（a+b）-f（a）=f（a）f（b）-f（a）=f（a）（f（b）-1）
又由當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞1，
則f（a+b）-f（a）＞0，
故f（x）在R上遞增；
f（x）•f（2x-x²）=f[x+（2x-x²）]=f（-x²+3x）
又1=f（0），f（x）在R上遞增
∴由f（3x-x²）＞f（0）得：3x-x²＞0∴0＜x＜3

點(diǎn)評：本題主要考查了賦值法在求函數(shù)值，證明函數(shù)的性質(zhì)中的應(yīng)用，以及利用函數(shù)單調(diào)性解不等式．