已知函數(shù)
.
（1）當(dāng)
時，試確定函數(shù)
在其定義域內(nèi)的單調(diào)性；
（2）求函數(shù)在
上的最小值；
（3）試證明：
.
（1）當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為
，單調(diào)遞增區(qū)間為
；
（2）
；（3）詳見解析.
解析試題分析：（1）先求出函數(shù)的定義域求出，然后將代入函數(shù)的解析式，求出導(dǎo)數(shù)
，并利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的減區(qū)間與增區(qū)間 ；（2）求出，并求出方程
的
，對
的符號以及
是否在區(qū)間內(nèi)進(jìn)行分類討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)在上的最小值；（3）利用分析法將不等式
等價轉(zhuǎn)化為
，然后令
，將原不等式等價轉(zhuǎn)化為
在，利用（1）中的結(jié)論進(jìn)行證明.
試題解析：（1）函數(shù)的定義域為
，當(dāng)時，
，則
，
解不等式
，得
；解不等式
，得
，
故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；
（2）
，
，
當(dāng)
時，
，，此時函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
函數(shù)在
處取得最小值，即
；
當(dāng)
時，令
，
當(dāng)
時，即當(dāng)
，，，此時函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
函數(shù)在處取得最小值，即；
當(dāng)
，即當(dāng)
時，當(dāng)
，，當(dāng)
時，，
此時函數(shù)在處取得極小值，亦即最小值，
即
，
綜上所述，
；
（3）要證不等式，即證不等式
，即證不等式
，
即證不等式，
令
，則
則
，故原不等式等價于
，
即不等式
在
上恒成立，
由（1）知，當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
即函數(shù)
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知函數(shù)
，
.
(Ⅰ)若
，求函數(shù)
在區(qū)間
上的最值；
(Ⅱ)若
恒成立，求
的取值范圍. 注：
是自然對數(shù)的底數(shù).
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已知函數(shù)
．
（1）當(dāng)
時，求函數(shù)
在
上的最大值；
（2）令
，若
在區(qū)間
上不單調(diào)，求
的取值范圍；
（3）當(dāng)時，函數(shù)
的圖象與
軸交于兩點
，且
，又
是
的導(dǎo)函數(shù)．若正常數(shù)
滿足條件
，證明：
．
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已知函數(shù)
(
≠0,∈R)
(Ⅰ)若
，求函數(shù)
的極值和單調(diào)區(qū)間；
(Ⅱ)若在區(qū)間（0，e］上至少存在一點
，使得
成立，求實數(shù)的取值范圍.
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設(shè)函數(shù)
(1)當(dāng)
時，求函數(shù)
的最大值；
(2)令
（
）其圖象上任意一點
處切線的斜率
≤
恒成立，求實數(shù)
的取值范圍；
(3)當(dāng)
，
，方程
有唯一實數(shù)解，求正數(shù)
的值．
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已知函數(shù)
.
（Ⅰ）如果函數(shù)
在區(qū)間
上是單調(diào)函數(shù)，求
的取值范圍；
（Ⅱ）是否存在正實數(shù)，使得函數(shù)
在區(qū)間
內(nèi)有兩個不同的零點（
是自然對數(shù)的底數(shù)）？若存在，求出實數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由.
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已知函數(shù)
.
（1）若函數(shù)
在
處取得極值，且函數(shù)只有一個零點，求
的取值范圍.
（2）若函數(shù)在區(qū)間
上不是單調(diào)函數(shù)，求
的取值范圍.
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設(shè)函數(shù)
.
（1）若
，
對一切
恒成立，求
的最大值；
（2）設(shè)
，且
、
是曲線
上任意兩點，若對任意
，直線
的斜率恒大于常數(shù)
，求的取值范圍.
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.
，求
的單調(diào)區(qū)間;
對一切
恒成立,求
的取值范圍.