Question

如圖，四棱柱中，底面.四邊形為梯形，,且.過(guò)三點(diǎn)的平面記為，與的交點(diǎn)為.
（1）證明：為的中點(diǎn)；
（2）求此四棱柱被平面所分成上下兩部分的體積之比；
（3）若，，梯形的面積為6，求平面與底面所成二面角大小.

Answer 1

（1）為的中點(diǎn)；（2）；（3）.

試題分析：（1）利用面面平行來(lái)證明線線平行∥，則出現(xiàn)相似三角形，于是根據(jù)三角形相似即可得出，即為的中點(diǎn).（2）連接.設(shè)，梯形的高為，四棱柱被平面所分成上下兩部分的體積分別為和，，則.先表示出和，就可求出，從而.（3）可以有兩種方法進(jìn)行求解.第一種方法，用常規(guī)法，作出二面角.在中，作，垂足為，連接.又且，所以平面，于是.所以為平面與底面所成二面角的平面角.第二種方法，建立空間直角坐標(biāo)系，以為原點(diǎn)，分別為軸和軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè).因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240533027251145.png" style="vertical-align:middle;" />，所以.從而，，所以，.設(shè)平面的法向量，再利用向量求出二面角.
（1）證：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824053302881409.png" style="vertical-align:middle;" />∥，∥,，
所以平面∥平面.從而平面與這兩個(gè)平面的交線相互平行，即∥.
故與的對(duì)應(yīng)邊相互平行，于是.
所以，即為的中點(diǎn).
（2）解：如圖，連接.設(shè)，梯形的高為，四棱柱被平面所分成上下兩部分的體積分別為和，，則.

，
，
所以，
又
所以，
故.
（3）解法1如第（20）題圖1，在中，作，垂足為，連接.又且，所以平面，于是.
所以為平面與底面所成二面角的平面角.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824053302928398.png" style="vertical-align:middle;" />∥，，所以.
又因?yàn)樘菪?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824053302163526.png" style="vertical-align:middle;" />的面積為6，，所以.
于是.
故平面與底面所成二面角的大小為.
解法2如圖，以為原點(diǎn)，分別為軸和軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè).因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240533027251145.png" style="vertical-align:middle;" />，所以.
從而，，
所以，.
設(shè)平面的法向量，
由得，
所以.
又因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824053304254533.png" style="vertical-align:middle;" />的法向量，
所以，
故平面與底面所成而面積的大小為.