在斜三棱柱

中,平面

平面ABC,

,

,

.
(1)求證:

;
(2)若

,求二面角

的余弦值.

(1)證明過程詳見解析;(2)

.
試題分析:本題主要考查線線垂直、線面垂直、面面垂直、線線平行、二面角的余弦等基礎知識,考查學生的空間想象能力、邏輯推理能力、計算能力.第一問,利用面面垂直的性質(zhì)得BC⊥平面A
1ACC
1,則利用線面垂直的性質(zhì)得A
1A⊥BC,由A
1B⊥C
1C,利用平行線A
1A∥C
1C,則A
1A⊥A
1B,利用線面垂直的判定得A
1A⊥平面A
1BC,則利用線面垂直的性質(zhì)得A
1A⊥A
1C;第二問,建立空間直角坐標系,得到面上的點的坐標,計算出向量坐標,求出平面

和平面

的法向量,利用夾角公式計算出二面角的余弦值.
(1)因為平面A
1ACC
1⊥平面ABC,AC⊥BC,所以BC⊥平面A
1ACC
1,
所以A
1A⊥BC.
因為A
1B⊥C
1C,A
1A∥C
1C,所以A
1A⊥A
1B,
所以A
1A⊥平面A
1BC,所以A
1A⊥A
1C. 5分

(2)建立如圖所示的坐標系C-xyz.
設AC=BC=2,因為A
1A=A
1C,
則A(2,0,0),B(0,2,0),A
1(1,0,1),C(0,0,0).

=(0,2,0),

=(1,0,1),

=(-2,2,0).
設n
1=(a,b,c)為面BA
1C的一個法向量,則n
1·

=n
1·

=0,
則

,取n
1=(1,0,-1).
同理,面A
1CB
1的一個法向量為n
2=(1,1,-1). 9分
所以cosán
1,n
2ñ=

=

,
故二面角B-A
1C-B
1的余弦值為

. 12分
練習冊系列答案
相關習題
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
如圖,四棱錐

中,

,

,

,平面

⊥平面

,

是線段

上一點,

,

.
(1)證明:

⊥平面

;
(2)若

,求直線

與平面

所成角的正弦值.

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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
如圖,棱柱ABCD-A
1B
1C
1D
1的所有棱長都等于2,∠ABC=60°,平面AA
1C
1C⊥平面ABCD,∠A
1AC=60°.

(1)證明:BD⊥AA
1;
(2)求銳二面角D-A
1A-C的平面角的余弦值;
(3)在直線CC
1上是否存在點P,使BP∥平面DA
1C
1?若存在,求出點P的位置;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
如圖,在梯形ABCD中,AB//CD,AD=DC=CB=a,

,平面

平面ABCD,四邊形ACFE是矩形,AE=a.
(1)求證:

平面ACFE;
(2)求二面角B—EF—D的平面角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
如下圖,在三棱錐

中,

底面

,點

為以

為直徑的圓上任意一動點,且

,點

是

的中點,

且交

于點

.
(1)求證:

面

;
(2)當

時,求二面角

的余弦值.

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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
如圖,在平行六面體ABCD-A
1B
1C
1D
1中,底面是邊長為2的正方形,若∠A
1AB=∠A
1AD=60°,且A
1A=3,則A
1C的長為( 。

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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
如圖所示,已知空間四邊形OABC中,|OB|=|OC|,且∠AOB=∠AOC,則

、

夾角θ的余弦值為( )

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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
如圖,四棱柱

中,


底面

.四邊形

為梯形,

,且

.過

三點的平面記為

,

與

的交點為

.
(1)證明:

為

的中點;
(2)求此四棱柱被平面

所分成上下兩部分的體積之比;
(3)若


,

,梯形

的面積為6,求平面

與底面

所成二面角大小.

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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
點

關于坐標原點對稱的點是( )
A.(-2,3,-1) | B.(-2,-3,-1) | C.(2,-3,-1) | D.(-2,3,1) |
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