Question

設(shè)z是虛數(shù)，w＝z＋是實(shí)數(shù)，且－1＜w＜2.

(1)求|z|的值及z的實(shí)部的取值范圍；

(2)設(shè)u＝，求證：u為純虛數(shù)；

(3)求w－u²的最小值．

Answer 1

解：(1)設(shè)z＝a＋bi，a，b∈R，b≠0，

則w＝a＋bi＋＝＋i，

 ∵w是實(shí)數(shù)，b≠0，

∴a²＋b²＝1，即|z|＝1.

于是w＝2a，－1＜2a＜2，－＜a＜1，

∴z的實(shí)部的取值范圍是.

(2)證明：u＝＝＝＝－i.

∵a∈，b≠0，

∴u為純虛數(shù)．

(3)w－u²＝2a＋＝2a＋＝2a－＝2a－1＋＝2－3.

∵a∈，∴a＋1＞0，故w－u²≥2·2 －3＝4－3＝1.當(dāng)a＋1＝，即a＝0時(shí)，w－u²取得最小值1.