Question

一個(gè)直角梯形的上底比下底短，該梯形繞它的上底旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為，該梯形繞它的下底旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為，該梯形繞它的直角腰旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為，則該梯形的周長(zhǎng)為__________

Answer 1

試題分析：先設(shè)梯形的上底、下底和高，然后利用圓柱和圓錐的體積公式求出以這三邊旋轉(zhuǎn)得到的幾何體的體積，聯(lián)立得到的式子可解出上底、下底和高，結(jié)合勾股定理，另一腰也可求出，故梯形的周長(zhǎng)可以得到。
解：設(shè)梯形的上底長(zhǎng)為，下底長(zhǎng)為，高為，
則梯形繞上底旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積為，
因此，即.
同理有，
兩式相除得，去分母化簡(jiǎn)得，
代入得.
注意到直角腰長(zhǎng)等于高，梯形繞它的直角腰旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體為圓臺(tái)，其體積為. 將代入化簡(jiǎn)得. 結(jié)合可解得，因此，由勾股定理知另一條腰的長(zhǎng)度為，因此梯形的周長(zhǎng)為.
點(diǎn)評(píng)：找出組合圖形的各部分?jǐn)?shù)據(jù)，求體積和．