Question

【題目】已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，它的準(zhǔn)線過(guò)雙曲線 的右焦點(diǎn)，而且與x軸垂直．又拋物線與此雙曲線交于點(diǎn) ，求拋物線和雙曲線的方程．

Answer 1

【答案】解：由題意，設(shè)拋物線方程為y2=﹣2px（p＞0）
∵拋物線圖象過(guò)點(diǎn) ，∴ ，解之得p=2．
所以拋物線方程為y2=﹣4x，準(zhǔn)線方程為x=1．
∵雙曲線的右焦點(diǎn)經(jīng)過(guò)拋物線的準(zhǔn)線，∴雙曲線右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），c=1
∵雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn) ，∴
結(jié)合c2=a2+b2=1，聯(lián)解得 或a2=9，b2=﹣8（舍去）
∴雙曲線方程為 ．
綜上所述，拋物線方程為y2=﹣4x，雙曲線方程為
【解析】根據(jù)題中的點(diǎn)在拋物線上，列式解出拋物線方程為y2=﹣2x，從而算出雙曲線右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），可得c2=a2+b2=1．再由點(diǎn) 在雙曲線上建立關(guān)于a、b的方程，聯(lián)解得到a、b的值，即可得到雙曲線的方程．