Question

已知橢圓：（），其焦距為，若（），則稱(chēng)橢圓為“黃金橢圓”．

（1）求證：在黃金橢圓：（）中，、、成等比數(shù)列．

（2）黃金橢圓：（）的右焦點(diǎn)為，為橢圓上的

任意一點(diǎn)．是否存在過(guò)點(diǎn)、的直線(xiàn)，使與軸的交點(diǎn)滿(mǎn)足？若存在，求直線(xiàn)的斜率；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）在黃金橢圓中有真命題：已知黃金橢圓：（）的左、右焦點(diǎn)分別是、，以、、、為頂點(diǎn)的菱形的內(nèi)切圓過(guò)焦點(diǎn)、．試寫(xiě)出“黃金雙曲線(xiàn)”的定義；對(duì)于上述命題，在黃金雙曲線(xiàn)中寫(xiě)出相關(guān)的真命題，并加以證明．

 

Answer 1

【答案】

  （1）證明：由及，得

，故、、成等比數(shù)列．（3分）

（2）解：由題設(shè)，顯然直線(xiàn)垂直于軸時(shí)不合題意，設(shè)直線(xiàn)的方程為，

得，又，及，得點(diǎn)的坐標(biāo)為，（5分）

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，又，得，

，故存在滿(mǎn)足題意的直線(xiàn)，其斜率．（6分）

（3）黃金雙曲線(xiàn)的定義：已知雙曲線(xiàn)：，其焦距為，若（或?qū)懗?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052317453610934058/SYS201205231748119218525653_DA.files/image026.png">），則稱(chēng)雙曲線(xiàn)為“黃金雙曲線(xiàn)”．（8分）

在黃金雙曲線(xiàn)中有真命題：已知黃金雙曲線(xiàn)：的左、右焦點(diǎn)分別是、，以、、、為頂點(diǎn)的菱形的內(nèi)切圓過(guò)頂點(diǎn)、．（10分）

證明：直線(xiàn)的方程為，原點(diǎn)到該直線(xiàn)的距離為，

將代入，得，又將代入，化簡(jiǎn)得，

故直線(xiàn)與圓相切，同理可證直線(xiàn)、、均與圓相切，即以、為直徑的圓為菱形的內(nèi)切圓，命題得證．（13分）

【解析】略