本題共有3個(gè)小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分6分,第3小題滿分6分.
已知橢圓:
(
),其焦距為
,若
(
),則稱橢圓
為“黃金橢圓”.
(1)求證:在黃金橢圓:
(
)中,
、
、
成等比數(shù)列.
(2)黃金橢圓:
(
)的右焦點(diǎn)為
,
為橢圓
上的
任意一點(diǎn).是否存在過點(diǎn)、
的直線
,使
與
軸的交點(diǎn)
滿足
?若存在,求直線
的斜率
;若不存在,請說明理由.
(3)在黃金橢圓中有真命題:已知黃金橢圓:
(
)的左、右
焦點(diǎn)分別是、
,以
、
、
、
為頂點(diǎn)的菱形
的內(nèi)切圓過焦點(diǎn)
、
.
試寫出“黃金雙曲線”的定義;對于上述命題,在黃金雙曲線中寫出相關(guān)的真命題,并加以證明.
(1)證明:由及
,得
,故
、
、
成等比數(shù)列.
(2)解:由題設(shè),顯然直線垂直于
軸時(shí)不合題意,設(shè)直線
的方程為
,
得,又
,及
,得點(diǎn)
的坐標(biāo)為
,(6分)
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,所以
,又
,得
,
,故存在滿足題意的直線
,其斜率
.
(3)黃金雙曲線的定義:已知雙曲線:
,其焦距為
,若
(或?qū)懗?sub>
),則稱雙曲線
為“黃金雙曲線”.
在黃金雙曲線中有真命題:已知黃金雙曲線:
的左、右焦點(diǎn)分別是
、
,以
、
、
、
為頂點(diǎn)的菱形
的內(nèi)切圓過頂點(diǎn)
、
.
證明:直線的方程為
,原點(diǎn)到該直線的距離為
,
將代入,得
,又將
代入,化簡得
,
故直線與圓
相切,同理可證直線
、
、
均與圓
相切,即以
、
為直徑的圓
為菱形
的內(nèi)切圓,命題得證.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
an+1 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(本題滿分18分)本題共有3個(gè)小題,第1小題滿分5分,第2小題滿分5分,第3小題滿分8分.
已知是公差為
的等差數(shù)列,
是公比為
的等比數(shù)列.
(1) 若,是否存在
,有
說明理由;
(2) 找出所有數(shù)列和
,使對一切
,
,并說明理由;
(3) 若試確定所有的
,使數(shù)列
中存在某個(gè)連續(xù)
項(xiàng)的和是數(shù)列
中的一項(xiàng),請證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2008年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)(上海卷) 題型:解答題
(本題滿分18分)本題共有3個(gè)小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分6分,
第3小題滿分8分.
已知數(shù)列:
,
,
,
(
是正整數(shù)),與數(shù)列
:
,
,
,
,
(
是正整數(shù)).記
.
(1)若,求
的值;
(2)求證:當(dāng)是正整數(shù)時(shí),
;
(3)已知,且存在正整數(shù)
,使得在
,
,
,
中有4項(xiàng)為100.
求的值,并指出哪4項(xiàng)為100.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年上海市徐匯區(qū)高三上學(xué)期期末考試文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
(本題滿分18分) 本題共有3個(gè)小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分6分. 第3小題滿分8分.
(文)對于數(shù)列,從中選取若干項(xiàng),不改變它們在原來數(shù)列中的先后次序,得到的數(shù)列稱為是原來數(shù)列的一個(gè)子數(shù)列. 某同學(xué)在學(xué)習(xí)了這一個(gè)概念之后,打算研究首項(xiàng)為
,公差為
的無窮等差數(shù)列
的子數(shù)列問題,為此,他取了其中第一項(xiàng)
,第三項(xiàng)
和第五項(xiàng)
.
(1) 若成等比數(shù)列,求
的值;
(2) 在,
的無窮等差數(shù)列
中,是否存在無窮子數(shù)列
,使得數(shù)列
為等比數(shù)列?若存在,請給出數(shù)列
的通項(xiàng)公式并證明;若不存在,說明理由;
(3) 他在研究過程中猜想了一個(gè)命題:“對于首項(xiàng)為正整數(shù),公比為正整數(shù)
(
)的無窮等比數(shù) 列
,總可以找到一個(gè)子數(shù)列
,使得
構(gòu)成等差數(shù)列”. 于是,他在數(shù)列
中任取三項(xiàng)
,由
與
的大小關(guān)系去判斷該命題是否正確. 他將得到什么結(jié)論?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年上海市靜安區(qū)高三下學(xué)期質(zhì)量調(diào)研考試數(shù)學(xué)理卷 題型:選擇題
.(本題滿分18分)
本題共有3個(gè)小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分6分,第3小題滿分8分.
設(shè)二次函數(shù),對任意實(shí)數(shù)
,有
恒成立;數(shù)列
滿足
.
(1)求函數(shù)的解析式和值域;
(2)試寫出一個(gè)區(qū)間,使得當(dāng)
時(shí),數(shù)列
在這個(gè)區(qū)間上是遞增數(shù)列,
并說明理由;
(3)已知,是否存在非零整數(shù)
,使得對任意
,都有
恒成立,若存在,
求之;若不存在,說明理由.
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