Question

如圖①，四邊形ABCD為等腰梯形，AE⊥DC，AB=AE=

1

3

DC，F(xiàn)為EC的中點(diǎn)，現(xiàn)將△DAE沿AE翻折到△PAE的位置，如圖②，且平面PAE⊥平面ABCE．

（Ⅰ）求證：平面PAF⊥平面PBE；
（Ⅱ）求直線PF與平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（I）先證明四邊形AEFB為正方形，可證得BE⊥AF；再利用面面垂直的性質(zhì)，證得線面垂直，再得PE⊥AF，由此可證AF⊥平面PBE，從而證明面面垂直；
（Ⅱ）求出

PF

，平面PBC的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式，可求直線PF與平面PBC所成角的正弦值．

解答：（I）證明：∵EF∥AB，AB=EF=

1

3

CD，
∴四邊形AEFB為平行四邊形，又AE=AB，AE⊥CD，
∴四邊形AEFB為正方形，∴BE⊥AF，
∴平面PAE⊥平面ABCE，PE⊥AE，平面PAE∩平面ABCE=AE，
∴PE⊥平面ABCE，∴PE⊥AF，
又PE∩BE=E，∴AF⊥平面PBE，
∵AF?平面PAF，
∴平面PBE⊥平面PAF；
（Ⅱ）解：建立如圖所示的裝不下，設(shè)AB=4，則P（0，0，4），A（0，4，0），B（4，4，0），C（8，0，0），F(xiàn)（4，0，0），
∴

PF

=(4，0，-4)，

BC

=(4，-4，0)，

PB

=(4，4，-4)，
設(shè)

n

=（x，y，z）為平面PBC的一個(gè)法向量，則

4x-4y=0 4x+4y-4z=0

，∴可去

n

=（1，1，2），
∴sinα=|

PF • n

| PF || n |

|=

3

6

，
∴直線PF與平面PBC所成角的正弦值為

3

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了面面垂直的證明，考查線面角，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，正確求出平面的法向量是關(guān)鍵．