Question

設(shè)是由滿足下列兩個(gè)條件的函數(shù)構(gòu)成的集合：①方程 有實(shí)根; ②函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)滿足（1）判斷函數(shù)是不是集合中的元素,并說明理由;（2）若集合的元素具有以下性質(zhì)：“設(shè)的定義域?yàn)?img width=17 height=17 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/122/221722.gif">,對(duì)于任意都存在使得等式成立.”試用這一性質(zhì)證明：方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；（3設(shè)是方程的實(shí)根,求證:對(duì)函數(shù)定義域中任意,,當(dāng),且時(shí), .

Answer 1

（1） （2）略；（3）略

解析:

：（1）函數(shù)是集合中的元素.事實(shí)上，方程就是此方程有實(shí)根0.又而,所以

   ,滿足  ……3分

（2）用反證法.假設(shè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則

由函數(shù)性質(zhì), 存在使得等式

成立,即而

所以,此與矛盾.故方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.………8分

（3）不妨設(shè).因?yàn)?img width=88 height=21 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/156/221756.gif">所以在其定義域上是增函數(shù),于是

又因?yàn)?img width=87 height=21 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/159/221759.gif">所以是定義域上的減函數(shù).于是

即

  故<1+1=2