【題目】已知
為圓
上一動點，在
軸，
軸上的射影分別為點
，
，動點
滿足
，記動點的軌跡為曲線
.
（1）求曲線的方程；
（2）過點
的直線與曲線交于
，
兩點，判斷以
為直徑的圓是否過定點？求出定點的坐標；若不是，請說明理由.
【答案】（1）
；（2）定點
【解析】
（1）設(shè)
，
，利用所給條件建立關(guān)系式，利用點
在上可得
的方程，即為所求；
（2）設(shè)頂點為
，設(shè)出直線
的方程，與橢圓的方程聯(lián)立方程組，得到根與系數(shù)的關(guān)系，以及
，利用向量的數(shù)量積為0得到恒等式，求得的坐標即可．
（1）設(shè)，，則
，
由
，可得
，代入，得，
故曲線
的方程為；
（2）假設(shè)存在滿足條件的定點，
由對稱性可知該定點必在
軸上，設(shè)定點為
，
當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為
，
聯(lián)立
得
，
設(shè)
，
，
則
，
，
所以
，
，
因為
，
，
所以
，
對任意的
恒成立，
所以
，解得
，即定點為
，
當直線的斜率不存在時，以
為直徑的圓也過點
，
故以為直徑的圓過定點.
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】設(shè)拋物線
的焦點為
，準線為
，
為拋物線
過焦點的弦，已知以為直徑的圓與相切于點
.
（1）求
的值及圓的方程；
（2）設(shè)
為上任意一點，過點作的切線，切點為
，證明：
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知
，函數(shù)
（
是自然對數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）若
，證明：曲線
沒有經(jīng)過點
的切線；
（Ⅱ）若函數(shù)
在其定義域上不單調(diào)，求
的取值范圍；
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，曲線
的參數(shù)方程為
（
為參數(shù)），以坐標原點
為極點，
軸的正半軸為極軸，取相同長度單位建立極坐標系，直線
的極坐標方程為
.
（Ⅰ）求曲線和直線的直角坐標方程；
（Ⅱ）直線與
軸交點為
，經(jīng)過點的直線與曲線交于
，
兩點，證明：
為定值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】從某公司生產(chǎn)線生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取1000件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標，由檢測結(jié)果得如圖所示的頻率分布直方圖：
（1）求這1000件產(chǎn)品質(zhì)量指標的樣本平均數(shù)
和樣本方差
（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；
（2）由直方圖可以認為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標值
服從正態(tài)分布
，其中
近似為樣本平均數(shù)
近似為樣本方差.
（i）利用該正態(tài)分布，求
；
（ⅱ）已知每件該產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為10元，每件合格品（質(zhì)量指標值
）的定價為16元；若為次品（質(zhì)量指標值
），除了全額退款外且每件次品還須賠付客戶48元.若該公司賣出10件這種產(chǎn)品，記
表示這件產(chǎn)品的利潤，求
.
附：
，若
，則
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某種規(guī)格的矩形瓷磚
根據(jù)長期檢測結(jié)果，各廠生產(chǎn)的每片瓷磚質(zhì)量
都服從正態(tài)分布
，并把質(zhì)量在
之外的瓷磚作為廢品直接回爐處理，剩下的稱為正品．
（Ⅰ）從甲陶瓷廠生產(chǎn)的該規(guī)格瓷磚中抽取10片進行檢查，求至少有1片是廢品的概率；
（Ⅱ）若規(guī)定該規(guī)格的每片正品瓷磚的“尺寸誤差”計算方式為：設(shè)矩形瓷磚的長與寬分別為
、
，則“尺寸誤差”
為
，按行業(yè)生產(chǎn)標準，其中“優(yōu)等”、“一級”、“合格”瓷磚的“尺寸誤差”范圍分別是
，
、
，
、
，
（正品瓷磚中沒有“尺寸誤差”大于
的瓷磚），每片價格分別為7.5元、6.5元、5.0元．現(xiàn)分別從甲、乙兩廠生產(chǎn)的該規(guī)格的正品瓷磚中隨機抽取100片瓷磚，相應(yīng)的“尺寸誤差”組成的樣本數(shù)據(jù)如下：
尺寸誤差 | 0 | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.4 | 0.5 | 0.6 |
頻數(shù) | 10 | 30 | 30 | 5 | 10 | 5 | 10 |
（甲廠瓷磚的“尺寸誤差”頻數(shù)表）用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率．
（�。┯浖讖S該種規(guī)格的2片正品瓷磚賣出的錢數(shù)為
（元
，求的分布列及數(shù)學(xué)期望
．
（ⅱ）由如圖可知，乙廠生產(chǎn)的該規(guī)格的正品瓷磚只有“優(yōu)等”、“一級”兩種，求5片該規(guī)格的正品瓷磚賣出的錢數(shù)不少于36元的概率．
附：若隨機變量
服從正態(tài)分布，則
；
，
，
．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓C：
(a＞b＞0)，左、右焦點分別為F1(﹣1，0)，F2(1，0)，橢圓離心率為
，過點P(4，0)的直線l與橢圓C相交于A、B兩點（A在B的左側(cè)）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若B是AP的中點，求直線l的方程；
（3）若B點關(guān)于x軸的對稱點是E，證明：直線AE與x軸相交于定點．
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