Question

已知雙曲線的兩焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，過F₂作x軸的垂線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，若△ABF₁內(nèi)切圓的半徑為a，則此雙曲線的離心率為（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：欲求雙曲線的離心率，只須建立a，c的關(guān)系式即可，由雙曲線的定義得：|AF₁|-|AF₂|=2a，|BF₁|-|BF₂|=2a，從而△ABF₁周長(zhǎng)為：2|AB|+4a，利用△ABF₁內(nèi)切圓的半徑為a，得到△ABF₁面積為：S=（|AF₁|+|BF₁|+|AB|）×a，又S=|AB|×2c，由面積相等即可建立a，c的關(guān)系，即可求得此雙曲線的離心率．
解答：解：由雙曲線的定義得：
|AF₁|-|AF₂|=2a，|BF₁|-|BF₂|=2a兩式相加得：|AF₁|+|BF₁|-|AB|=4a，
又在雙曲線中，|AB|=2×，
∴△ABF₁周長(zhǎng)為：|AF₁|+|BF₁|+|AB|=2|AB|+4a=4×+4a，
∵△ABF₁內(nèi)切圓的半徑為a，
∴△ABF₁面積為：S=（|AF₁|+|BF₁|+|AB|）×a
又S=|AB|×2c，
∴（4+4a）×a=|AB|×2c
即c²-a²=ac
解得：e==．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的離心率和三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，在解題過程中要注意隱含條件的挖掘，注意應(yīng)用三角形面積的不同計(jì)算方法建立關(guān)于a，b，c的等式求離心率．