Question

若橢圓E₁：

x2

a12

+

y2

b12

=1和橢圓E₂：

x2

a22

+

y2

b22

=1滿足

a1

a2

=

b1

b2

=m（m＞0），則稱這兩個橢圓相似，m稱為其相似比．
（1）求經(jīng)過點（2，

6

），且與橢圓

x2

4

+

y2

2

=1相似的橢圓方程．
（2）設(shè)過原點的一條射線l分別與（1）中的兩個橢圓交于A、B兩點（其中點A在線段OB上），求|OA|+

1

|OB|

的最大值和最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)所求的橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，由題意得

2 a = 2 b 4 a2 + 6 b2 =1

，由此能求出橢圓方程．
（2）當(dāng)射線與y軸重合時，|OA|+

1

|OB|

=

5 2

4

；當(dāng)射線不與坐標(biāo)軸重合時，設(shè)其方程為y=kx（k≥0，x＞0），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由已知條件推導(dǎo)出|OA|+

1

|OB|

=

2 k2+1

1+2k2

+

1+2k2

4 k2+1

，由此能求出|OA|+

1

|OB|

的最大值和最小值．

解答： 解：（1）設(shè)所求的橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，
則由題意得

2 a = 2 b 4 a2 + 6 b2 =1

，解得

a2=16 b2=8

，…（3分）
∴所要求的橢圓方程為

x2

16

+

y2

8

=1．…（5分）
（2）①當(dāng)射線與y軸重合時，
|OA|+

1

|OB|

=

2

+

1

2 2

=

5 2

4

．…（6分）
②當(dāng)射線不與坐標(biāo)軸重合時，
由橢圓的對稱性，我們僅考察A、B在第一象限的情形．
設(shè)其方程為y=kx（k≥0，x＞0），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=kx x2 4 + y2 2 =1

，解得

x 2 1 = 4 1+2k2 y 2 1 = 4k2 1+2k2

，|OA|=

2 k2+1

1+2k2

，…（7分）
由

y=kx x2 16 + y2 8 =1

，解得

x 2 1 = 16 1+2k2 y 2 1 = 16k2 1+2k2

，|OB|=

4 k2+1

1+2k2

，…（8分）
|OA|+

1

|OB|

=

2 k2+1

1+2k2

+

1+2k2

4 k2+1

，
令t=

2 k2+1

1+2k2

，則由t=

2 k2+1

1+2k2

=

4k2+4 1+2k2

=

2+ 2 1+2k2

，
知

2

＜t≤2，…（10分）
|OA|+

1

|OB|

=t+

1

2t

，
記f(t)=t+

1

2t

，則f（t）在(

2

，2]上是增函數(shù)，
∴f(

2

)＜f(t)≤f(2)，…（12分）
∴

5

4

2

＜|OA|+

1

|OB|

≤

9

4

，
由①②知，|OA|+

1

|OB|

的最大值為

9

4

，
|OA|+

1

|OB|

的最小值為

5 2

4

．…（13分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查兩線段和的最大值和最小值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意換元法和函數(shù)的單調(diào)性的合理運用．