Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為e=

2

2

，橢圓上的點P與兩個焦點F₁，F(xiàn)₂構成的三角形的最大面積為1，
（1）求橢圓C的方程；
（2）若點Q為直線x+y-2=0上的任意一點，過點Q作橢圓C的兩條切線QD、QE（切點分別為D、E），試證明動直線DE恒過一定點，并求出該定點的坐標．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件推導出

c a = 2 2 bc=1 a2=b2+c2

，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設切點為D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），則切線方程為x₁x+2y₁y=2，x₂x+2y₂y=2，由已知條件推導出D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），都在直線mx+2（2-m）y=2上，由此能證明動直線DE恒過一定點（1，

1

2

）．

解答： （1）解：∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為e=

2

2

，
橢圓上的點P與兩個焦點F₁，F(xiàn)₂構成的三角形的最大面積為1，
∴

c a = 2 2 bc=1 a2=b2+c2

，解得a=

2

，b=c=1，
∴橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1．
（2）證明：設切點為D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），
則切線方程為x₁x+2y₁y=2，x₂x+2y₂y=2，
∵兩條切線都過x+y-2=0上任意一點Q（m，2-m），
∴得到x₁m+2y₁（2-m）=2，x₂m+2y₂（2-m）=2，
∴D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），都在直線mx+2（2-m）y=2上，
而對任意的m，直線mx+2（2-m）y=2始終經(jīng)過定點（1，

1

2

）．
∴動直線DE恒過一定點（1，

1

2

）．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查動直線恒過定點的證明，解題時要認真審題，注意橢圓的切線方程的合理運用．