【題目】已知函數(shù)
.
（Ⅰ）當(dāng)
時，求證： 
，并指出等號成立的條件；
（Ⅱ）求證：對任意實數(shù)
，總存在實數(shù)
，有
.
【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)證明見解析
【解析】試題分析：
(Ⅰ)構(gòu)造新函數(shù)
，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可得
，據(jù)此即可證得
.
(Ⅱ)原問題等價于
.然后分類討論當(dāng)
時和當(dāng)
時的情況即可證得題中的結(jié)論.
試題解析：
（Ⅰ）設(shè)
.
∵
，
∴當(dāng)
時， 
，故
遞增；當(dāng)
時， 
，故
遞減.
因此， 
，即
，當(dāng)且僅當(dāng)
時等號成立.
（Ⅱ）解法一：“存在實數(shù)
，有
”等價于
.
注意到
.∵
，
∴當(dāng)
時， 
，故
在
上單調(diào)遞增，從而
成立；
當(dāng)
時，令
，得
，∴
在
上遞減，在
上遞增
若
，即
時， 
在
上遞增，故
成立；
若
，即
時， 
在
上遞增，故
成立；
若
，即
時， 
在
上遞減，在
上遞增，
故
成立.
綜上所述，對任意實數(shù)
，總存在實數(shù)
，有
.
解法二：①當(dāng)
時， 
在區(qū)間
上遞增，則
，
②當(dāng)
時，由（Ⅰ）可知
；
③當(dāng)
時，由（Ⅰ）可知
綜上，對任意實數(shù)
，總存在實數(shù)
，有
.
口算心算速算應(yīng)用題系列答案
同步拓展閱讀系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
.
（1）若橢圓的離心率為
，且點
在橢圓上，①求橢圓的方程；
②設(shè)
分別為橢圓
的右頂點和上頂點，直線
和
與
軸和
軸相交于點
，求直線
的方程；
（2）設(shè) 
過
點的直線
與橢圓
交于
兩點，且
均在
的右側(cè)， 
，求橢圓離心率的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知在雙曲線 
中，F(xiàn)1 ， F2分別是左右焦點，A1 ， A2 ， B1 ， B2分別為雙曲線的實軸與虛軸端點，若以A1A2為直徑的圓總在菱形F1B1F2B2的內(nèi)部，則此雙曲線 離心率的取值范圍是（ ）
A.
B.[ 
，+∞）
C.
D.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】下列各小題中，P是q的充要條件的是（08年山東理改編）
1）p：m＜﹣2或m＞6；q：y=x2+mx+m+3有兩個不同的零點．
2）p： 
=1，q：y=f（x）是偶函數(shù)．
3）p：cosα=cosβ，q：tanα=tanβ．
4）p：A∩B=A，q：CUBCUA．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知定義在R上的函數(shù)f（x）=2|x﹣m|﹣1（m為實數(shù)）為偶函數(shù)，記a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），則a，b，c的大小關(guān)系為 ．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】觀察下列等式：32=52﹣42 ， 52=132﹣122 ， 72=252﹣242 ， 92=412﹣402 ， …照此規(guī)律，第n個等式為 ．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】設(shè)命題
：實數(shù)
滿足
，其中
；命題
：實數(shù)
滿足
.
（1）若
，且
為真，求實數(shù)
的取值范圍；
（2）若
是
的充分不必要條件，求實數(shù)
的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】設(shè)f（x）= 
（a＞0，b＞0）．
（1）當(dāng)a=b=1時，證明：f（x）不是奇函數(shù)；
（2）設(shè)f（x）是奇函數(shù)，求a與b的值；
（3）在（2）的條件下，試證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并解不等式f（1﹣m）+f（1+m2）＜0．
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