Question

【題目】已知定義在R上的函數(shù)，為常數(shù)，且是函數(shù)的一個極值點(diǎn)．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若函數(shù)，，求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ） 過點(diǎn)可作曲線的三條切線，求的取值范圍

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為；(Ⅲ)．

【解析】

（I）由求得值，同時要檢驗此時是極值點(diǎn)；

（II）求出，由的正負(fù)得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即由得增區(qū)間，由得減區(qū)間

（III）設(shè)切點(diǎn)為，則切線的斜率為，整理得，此方程有3個根. 為此設(shè)，則的極大值大于0，極小值小于0，由此可得的范圍．

（Ⅰ），是函數(shù)的一個極值點(diǎn)，則

又，函數(shù)在兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

則，令，得.

隨的變化，與的變化如下：

		0		0
		極大值		極小值

所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為．

(Ⅲ),設(shè)切點(diǎn)為，則切線的斜率為

，

整理得，依題意，方程有3個根.

設(shè)，則

令，得，則在區(qū)間，上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，

因此，解得.所以的取值范圍為