Question

【題目】已知圓

（1）求圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)點(diǎn)的直線被圓截得的弦長(zhǎng)為8，求直線的方程；

（3）當(dāng)取何值時(shí)，直線與圓相交的弦長(zhǎng)最短，并求出最短弦長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）

【解析】

（1）設(shè)，根據(jù)圓心與關(guān)于直線對(duì)稱，列出方程組，求得的值，即可求解；

（2）由圓的弦長(zhǎng)公式，求得，根據(jù)斜率分類討論，求得直線的斜率，即可求解；

（3）由直線，得直線過(guò)定點(diǎn),根據(jù)時(shí)，弦長(zhǎng)最短，即可求解．

（1）由題意，圓的圓心，半徑為，

設(shè)，因?yàn)閳A心與關(guān)于直線對(duì)稱，

所以，解得，則，半徑，

所以圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：

（2）設(shè)點(diǎn)到直線距離為，圓的弦長(zhǎng)公式，得，解得，

①當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線方程為，滿足題意

②當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，則，解得，

所以直線的方程為，

綜上，直線方程為或

（3）由直線，可化為，可得直線過(guò)定點(diǎn),

當(dāng)時(shí)，弦長(zhǎng)最短，又由，可得，

此時(shí)最短弦長(zhǎng)為．