Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，側(cè)棱PA⊥平面ABCD，且PA=AD=2，E、F、H分別是線段PA、PD、AB的中點(diǎn)．
（1）求證：PD⊥平面AHF；
（2）求證：平面PBC∥平面EFH．

Answer 1

分析：（1）要證PD⊥平面AHF，須證PD垂直面內(nèi)兩條相交直線即可．
（2）要證平面PBC∥平面EFH，須證平面PBC內(nèi)的兩相交直線都與平面EFH平行即可．

解答：證明：（1）因?yàn)锳P=AD，且F為PD的中點(diǎn)，所以PD⊥AF．
因?yàn)镻A⊥平面ABCD，且AH?平面ABCD，所以AH⊥PA；
因?yàn)锳BCD為正方形，所以AH⊥AD；    
又PA∩AD=A，所以AH⊥平面PAD．
因?yàn)镻D?平面PAD，所以AH⊥PD．
又AH∩AF=A，所以PD⊥平面AHF．
（2）因?yàn)镋、H分別是線段PA、AB的中點(diǎn)，所以EH∥PB．
又PB?平面PBC，EH?平面PBC，所以EH∥平面PBC．
因?yàn)镋、F分別是線段PA、PD的中點(diǎn)，所以EF∥AD，
因?yàn)锳BCD為正方形，所以AD∥BC，所以EF∥BC，
又BC?平面PBC，EF?平面PBC，所以EF∥平面PBC．
因?yàn)镋F∩EH=E，且EF?平面EFH，EH?平面EFH，所以平面PBC∥平面EFH．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間直線與平面之間的位置關(guān)系，平面與平面之間的位置關(guān)系，是中檔題．