【題目】已知集合
，且
中的元素個數(shù)
大于等于5.若集合中存在四個不同的元素
，使得
，則稱集合是“關(guān)聯(lián)的”，并稱集合
是集合的“關(guān)聯(lián)子集”；若集合不存在“關(guān)聯(lián)子集”，則稱集合是“獨立的”.
分別判斷集合
和集合
是“關(guān)聯(lián)的”還是“獨立的”？若是“關(guān)聯(lián)的”，寫出其所有的關(guān)聯(lián)子集；
已知集合
是“關(guān)聯(lián)的”，且任取集合
，總存在的關(guān)聯(lián)子集
，使得
.若
，求證：
是等差數(shù)列；
集合是“獨立的”，求證：存在
，使得
.
【答案】
是關(guān)聯(lián)的，關(guān)聯(lián)子集有
；
是獨立的；
證明見解析；
證明見解析
【解析】
（1）根據(jù)題中所給的新定義，即可求解；
（2）根據(jù)題意，
，
，
，
， 
，進而利用反證法求解；
（3）不妨設(shè)集合
，
，且
.
記
，進而利用反證法求解；
解:是“關(guān)聯(lián)的”關(guān)聯(lián)子集有;
是“獨立的”
記集合
的含有四個元素的集合分別為:
，，，，
.
所以，至多有
個“關(guān)聯(lián)子集”.
若為“關(guān)聯(lián)子集”，則不是 “關(guān)聯(lián)子集”，否則
同理可得若為“關(guān)聯(lián)子集”，則
不是 “關(guān)聯(lián)子集”.
所以集合沒有同時含有元素
的“關(guān)聯(lián)子集”，與已知矛盾.
所以一定不是“關(guān)聯(lián)子集”
同理一定不是“關(guān)聯(lián)子集”.
所以集合的“關(guān)聯(lián)子集”至多為
.
若
不是“關(guān)聯(lián)子集”，則此時集合一定不含有元素
的“關(guān)聯(lián)子集”，與已知矛盾；
若
不是“關(guān)聯(lián)子集”，則此時集合一定不含有元素
的“關(guān)聯(lián)子集”，與已知矛盾；
若
不是“關(guān)聯(lián)子集”，則此時集合一定不含有元素
的“關(guān)聯(lián)子集”，與已知矛盾；
所以都是“關(guān)聯(lián)子集”
所以有
，即
，即
.
，即
，
所以
.
所以
是等差數(shù)列.
不妨設(shè)集合，，且.
記.
因為集合是“獨立的”的，所以容易知道
中恰好有
個元素.
假設(shè)結(jié)論錯誤，即不存在
，使得
所以任取，
，因為
，所以
所以
所以任取
，
任取
，
所以
，且中含有個元素.
(i)若
，則必有
成立.
因為
，所以一定有
成立.所以
.
所以
，
，
所以
，所以
，
有矛盾，
(ii)若
，
而中含有個元素，所以
所以，
因為，所以
.
因為
，所以
所以
所以
，矛盾.
所以命題成立.
全能測控一本好卷系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】黃岡“一票通”景區(qū)旅游年卡，是由黃岡市旅游局策劃，黃岡市大別山旅游公司推出的一項惠民工程.持有旅游年卡一年內(nèi)可不限次暢游全市19家簽約景區(qū).為合理配置旅游資源，現(xiàn)對已游覽某簽約景區(qū)的游客進行滿意度調(diào)查.隨機抽取100位游客進行調(diào)查評分（滿分100分），評分的頻率分布直方圖如圖.
（1）求a的值并估計評分的平均數(shù)；
（2）為了了解游客心聲，調(diào)研機構(gòu)用分層抽樣的方法從評分為
，
的游客中抽取了6名，聽取他們對該景區(qū)建設(shè)的建議.現(xiàn)從這6名游客中選取2人，求這2人中至少有一個人的評分在內(nèi)的概率；
（3）為更廣泛了解游客想法，調(diào)研機構(gòu)對所有評分從低到高排序的前86%游客進行了網(wǎng)上問卷調(diào)查并隨調(diào)查表贈送小禮品，估計收到問卷調(diào)查表的游客的最高分?jǐn)?shù).
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，若同時滿足以下條件：
①
在D上單調(diào)遞減或單調(diào)遞增；
②存在區(qū)間
，使在
上的值域是，那么稱
為閉函數(shù)．
（1）求閉函數(shù)
符合條件②的區(qū)間 ；
（2）判斷函數(shù)
是不是閉函數(shù)？若是請找出區(qū)間；若不是請說明理由；
（3）若
是閉函數(shù)，求實數(shù)
的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
在區(qū)間
上的最大值為4，最小值為1，記為
.
（1）求實數(shù)
，
的值；
（2）若不等式
成立，求實數(shù)
的取值范圍；
（3）對于任意滿足
的自變量
，
，
，…，
，如果存在一個常數(shù)
，使得定義在區(qū)間
上的一個函數(shù)
，
恒成立，則稱函數(shù)為區(qū)間上的有界變差函數(shù)，試判斷函數(shù)
是否是區(qū)間
上的有界變差函數(shù)，若是，求出
的最小值；若不是，請說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
.
(1)當(dāng)
時,討論
的單調(diào)性；
(2)設(shè)
，當(dāng)
時,若對任意
,存在
使
,求實數(shù)
取值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
是
上的偶函數(shù)，對于
都有
成立，且
，當(dāng)
，
，且
時，都有
.則給出下列命題：①
；②
為函數(shù)圖象的一條對稱軸；③函數(shù)在
上為減函數(shù)；④方程
在
上有4個根；其中正確的命題個數(shù)為（ ）
A.1B.2C.3D.4
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】王老師是高三的班主任，為了在寒假更好的督促班上的學(xué)生完成學(xué)習(xí)作業(yè)，王老師特地組建了一個QQ群，群的成員由學(xué)生、家長、老師共同組成.已知該QQ群中男學(xué)生人數(shù)多于女學(xué)生人數(shù)，女學(xué)生人數(shù)多于家長人數(shù)，家長人數(shù)多于教師人數(shù)，教師人數(shù)的兩倍多于男學(xué)生人數(shù).則該QQ群人數(shù)的最小值為（ ）
A.20B.22C.26D.28
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，
.
（1）當(dāng)
時，求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)函數(shù)
，其中
是自然對數(shù)的底數(shù)，判斷
有無極值，有極值時求出極值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某健身館在2019年7、8兩月推出優(yōu)惠項目吸引了一批客戶.為預(yù)估2020年7、8兩月客戶投入的健身消費金額，健身館隨機抽樣統(tǒng)計了2019年7、8兩月100名客戶的消費金額，分組如下：
，
，
，…，
（單位：元），得到如圖所示的頻率分布直方圖：
（1）請用抽樣的數(shù)據(jù)預(yù)估2020年7、8兩月健身客戶人均消費的金額（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；
（2）若把2019年7、8兩月健身消費金額不低于800元的客戶，稱為“健身達人”，經(jīng)數(shù)據(jù)處理，現(xiàn)在列聯(lián)表中得到一定的相關(guān)數(shù)據(jù)，請補全空格處的數(shù)據(jù)，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有
的把握認(rèn)為“健身達人”與性別有關(guān)？
健身達人 | 非健身達人 | 總計 | |
男 | 10 | ||
女 | 30 | ||
總計 |
（3）為吸引顧客，在健身項目之外，該健身館特別推出健身配套營養(yǎng)品的銷售，現(xiàn)有兩種促銷方案.
方案一：每滿800元可立減100元；
方案二：金額超過800元可抽獎三次，每次中獎的概率為
，且每次抽獎互不影響，中獎1次打9折，中獎2次打8折，中獎3次打7折.
若某人打算購買1000元的營養(yǎng)品，請從實際付款金額的數(shù)學(xué)期望的角度分析應(yīng)該選擇哪種優(yōu)惠方案.
附：
| 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.005 | |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
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