Question

已知函數(shù)滿足，對任意都有，且．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）是否存在實數(shù)，使函數(shù)在上為減函數(shù)？若存在，求出實數(shù)的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）；（2）存在實數(shù)，.

試題分析：（1）根據(jù) 求得；
根據(jù)對任意，有，確定圖像的對稱軸為直線，求得；
利用對任意都有，轉化成對任意成立，解得.
（2）化簡函數(shù) ，其定義域為，
令，利用復合函數(shù)的單調性，得到求解，得，肯定存在性.
試題解析：
（1）由及 ∴      1分
又對任意，有
∴圖像的對稱軸為直線，則，∴       3分
又對任意都有，
即對任意成立，
∴，故                                  6分
∴                                              7分
（2）由（1）知 ，其定義域為     8分
令
要使函數(shù)在上為減函數(shù)，
只需函數(shù)在上為增函數(shù)，               11分
由指數(shù)函數(shù)的單調性，有，解得           13分
故存在實數(shù)，當時，函數(shù)在上為減函數(shù)      14分