Question

【題目】已知、分別是橢圓 的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，且.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線(xiàn)與橢圓相交于，兩點(diǎn)，若，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，判斷到直線(xiàn)的距離是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）根據(jù)，，得到，列式求值即可.

(2)坐標(biāo)化可得，原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離 ②，將①式代入②式得：，得解.

（1），，

，

則，化簡(jiǎn)得，

又，，

則，得，則，

橢圓的方程為.

（2）由題意知，直線(xiàn)不過(guò)原點(diǎn)，設(shè)，，

（i）當(dāng)直線(xiàn)軸時(shí)，直線(xiàn)的方程為且，

則，，，，

，，，

解得，故直線(xiàn)的方程為，

原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為.

（ii）當(dāng)直線(xiàn)不垂直于軸時(shí)，

設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立直線(xiàn)和橢圓方程消去得，

，，

.

，，故，

即，①，

原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，

則 ②，將①式代入②式得：，

.

綜上，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為定值.