Question

【題目】以直角坐標(biāo)系的原點為極點，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，若直線的極坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）.

（1）求直線的直角坐標(biāo)方程和曲線的普通方程；

（2）設(shè)點的直角坐標(biāo)為，過的直線與直線平行，且與曲線交于、兩點，若，求的值.

Answer 1

【答案】（1）直線的直角坐標(biāo)方程為，曲線的普通方程為；

（2）.

【解析】

（1）利用兩角和的余弦公式以及可將的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，在曲線的參數(shù)方程中消去參數(shù)可得出曲線的普通方程；

（2）求出直線的傾斜角為，可得出直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），并設(shè)點、的參數(shù)分別為、，將直線的參數(shù)方程與曲線普通方程聯(lián)立，列出韋達定理，由，代入韋達定理可求出的值.

（1）因為，所以，

由，，得，

即直線的直角坐標(biāo)方程為；

因為消去，得，所以曲線的普通方程為；

（2）因為點的直角坐標(biāo)為，過的直線斜率為，

可設(shè)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），

設(shè)、兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為、，將參數(shù)方程代入，

得，則，.

所以，解得.