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          過(guò)直角坐標(biāo)平面xOy中的拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F作一條傾斜角為
          π
          4
          的直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)．
          （1）求直線AB的方程；
          （2）試用p表示A、B之間的距離；
          （3）當(dāng)p=2時(shí)，求∠AOB的余弦值．
          參考公式：（xA2+yA2）（xB2+yB2）=xAxB[xAxB+2p（xA+xB）+4p2]．
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          （1）由題意知焦點(diǎn)F(
          p
          2
          ，0)          ，
          ∴過(guò)拋物線焦點(diǎn)且傾斜角為
          π
          4
          的直線方程是y=x-
          p
          2
          ，
          即x-y-
          p
          2
          =0，
          （2）由
          y2=2px
          y=x-
          p
          2
          ⇒x2-3px+
          p2
          4
          =0          ⇒xA+xB=3p，xAxB=
          p2
          4

          ⇒|AB|=xA+xB+p=4p．
          （3）由
          y2=4x
          y=x-1
          ⇒x2-6x+1=0⇒xA+xB=6，xAxB=1.cos∠AOB=
          |AO|2+|BO|2-|AB|2
          2|AO||BO|
          =
          xA2+yA2+xB2+yB2-(xA-xB)2-(yA-yB)2
          2
          		(xA2+yA2)(xB2+yB2)
          =
          xAxB+yAyB
          		(xA2+yA2)(xB2+yB2)
          =
          2xAxB-
          p
          2
          (xA+xB)+
          p2
          4
          		xAxB[xAxB+2p(xA+xB)+4p2]
          =-
          3
          		41
          41
          ．
          ∴∠AOB的大小是與p無(wú)關(guān)的定值．
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習(xí)冊(cè)系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關(guān)習(xí)題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：不詳
				題型：單選題
			
          

						
          若θ是任意實(shí)數(shù)，則方程x2+4y2sinθ=1所表示的曲線一定不是（　　）
          A．圓B．雙曲線C．直線D．拋物線
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：不詳
				題型：解答題
			
          

						
          已知點(diǎn)A（-2，0），B（2，0），M（-1，0），直線PA，PB相交于點(diǎn)P，且它們的斜率之積為-
          3
          4
          ．
          （1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
          （2）試判斷以PB為直徑的圓與圓x2+y2=4的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
          （3）直線PM與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為N，求△OPN面積的最大值（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：不詳
				題型：解答題
			
          

						
          如圖，在以點(diǎn)O為圓心，AB為直徑的半圓中，D為半圓弧的中心，P為半圓弧上一點(diǎn)，且AB=4，∠POB=30°，雙曲線C以A，B為焦點(diǎn)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P．
          （1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求雙曲線C的方程；
          （2）設(shè)過(guò)點(diǎn)D的直線l與雙曲線C相交于不同兩點(diǎn)E、F，若△OEF的面積不小于2
          		2
          ，求直線l的斜率的取值范圍．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：不詳
				題型：解答題
			
          

						
          如圖，點(diǎn)A、B分別是橢圓
          x2
          36
          +
          y2
          20
          =1          的長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，直線PF的方程為
          		3
          x+y-3
          		2
          =0          ，且PA⊥PF．
          （Ⅰ）求直線PA的方程；
          （Ⅱ）設(shè)M是橢圓長(zhǎng)軸AB上的一點(diǎn)，M到直線AP的距離等于|MB|，求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離d的最小值．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：不詳
				題型：解答題
			
          

						
          已知雙曲線的中心在原點(diǎn)O，其中一條準(zhǔn)線方程為x=
          		3
          2
          ，且與橢圓
          x2
          25
          +
          y2
          13
          =1          有共同的焦點(diǎn)．
          （1）求此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
          （2）（普通中學(xué)學(xué)生做）設(shè)直線L：y=kx+3與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，試問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)k，使得以弦AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)O？若存在，求出k的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
          （重點(diǎn)中學(xué)學(xué)生做）設(shè)直線L：y=kx+3與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，C是直線L1：y=mx+6上任一點(diǎn)（A、B、C三點(diǎn)不共線）試問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)k，使得△ABC是以AB為底邊的等腰三角形？若存在，求出k的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：不詳
				題型：解答題
			
          

						
          已知三點(diǎn)P（5，2）、F1（-6，0）、F2（6，0）．
          （Ⅰ）求以F1、F2為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)P的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；
          （Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P、F1、F2關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)分別為P′、F1′、F2′，求以F1′、F2′為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)P′的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：不詳
				題型：解答題
			
          

						
          已知橢圓C：
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1（a＞b＞0）的離心率e=
          		3
          2
          ，橢圓C的上、下頂點(diǎn)分別為A1，A2，左、右頂點(diǎn)分別為B1，B2，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2．原點(diǎn)到直線A2B2的距離為
          2
          		5
          5
          ．
          （1）求橢圓C的方程；
          （2）過(guò)原點(diǎn)且斜率為
          1
          2
          的直線l，與橢圓交于E，F(xiàn)點(diǎn)，試判斷∠EF2F是銳角、直角還是鈍角，并寫(xiě)出理由；
          （3）P是橢圓上異于A1，A2的任一點(diǎn)，直線PA1，PA2，分別交x軸于點(diǎn)N，M，若直線OT與過(guò)點(diǎn)M，N的圓G相切，切點(diǎn)為T(mén)．證明：線段OT的長(zhǎng)為定值，并求出該定值．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來(lái)源：不詳
				題型：解答題
			
          

						
          已知橢圓C：
          x2
          2
          +y2=1          的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，下頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P是橢圓上任一點(diǎn)，⊙M是以PF2為直徑的圓．
          （Ⅰ）當(dāng)⊙M的面積為
          π
          8
          時(shí)，求PA所在直線的方程；
          （Ⅱ）當(dāng)⊙M與直線AF1相切時(shí)，求⊙M的方程；
          （Ⅲ）求證：⊙M總與某個(gè)定圓相切．
          

			
          

			
          
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