Question

已知p：

6

x-3

≥1，q：x²-2ax+a²-1≤0，（其中a∈R，為常數）若￢p是￢q的充分而不必要條件，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：本題考查的判斷充要條件的方法，我們可以根據充要條件的定義進行判斷

解答：解：∵p：

6

x-3

≥1
∴p為真，

6

x-3

≥1⇒

9-x

x-3

≥0，
∴可得x的取值范圍：3＜x≤9，
記集合A=（3，9]
∵q：x²-2ax+a²-1≤0，（其中a∈R，為常數）
∴q為真，x²-2ax+a²-1≤0
∴可得x的取值范圍：{x-（a-1）}•{x-（a+1）}≤0可得a-1≤x≤a+1
記集合B=[a-1，a+1]
∵￢p是￢q的充分而不必要條件，得B?A，
∴

a-1＞3 a+1≤9

∴實數a的取值范圍：4＜a≤8

點評：判斷充要條件的方法是：
①若p⇒q為真命題且q⇒p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；
②若p⇒q為假命題且q⇒p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；
③若p⇒q為真命題且q⇒p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；
④若p⇒q為假命題且q⇒p為假命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條件．
⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關系