Question

【題目】定義：若兩個(gè)橢圓的離心率相等，則稱兩個(gè)橢圓是“相似”的，如圖，橢圓與橢圓是相似的兩個(gè)橢圓，并且相交于上下兩個(gè)頂點(diǎn)，橢圓的長軸長是4，橢圓，短軸長是1，點(diǎn)，分別是橢圓的左焦點(diǎn)與右焦點(diǎn).

（1）求橢圓，的方程；

（2）過的直線交橢圓于點(diǎn)，，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題

(1)利用題意結(jié)合“相似”的定義設(shè)橢圓的半焦距為，橢圓的半焦距為，由a,b,c的關(guān)系可得：橢圓的方程為，橢圓的方程是；

(2)由題意可得三角形面積的表達(dá)式，結(jié)合均值不等式的結(jié)論可得的面積的最大值為.

試題解析：

解：（1）設(shè)橢圓的半焦距為，橢圓的半焦距為，由已知，，，

∵橢圓與橢圓的離心率相等，即，

∴，即，

∴，即，∴，

∴橢圓的方程為，橢圓的方程是；

（2）顯然直線的斜率不為0，故可設(shè)直線的方程為.

聯(lián)立：，得，即，

∴，設(shè)，，

則，，∴，

的高即為點(diǎn)到直線：的距離，

∴的面積，

∵，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，

∴，即的面積的最大值為.