Question

設(shè)數(shù)列{a_n}是公差為d的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n.
已知a₁＝1，d＝2，
①求當(dāng)n∈N^*時，的最小值；
②當(dāng)n∈N^*時，求證：＋＋…＋<；

Answer 1

(1)的最小值是16.
②證明：見解析。

本試題主要是考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解以及數(shù)列求和的綜合運(yùn)用。
（1）根據(jù)已知條件，先得到通項(xiàng)公式，然后根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式得到最值。
（2）并結(jié)合第一問中的結(jié)論，得通項(xiàng)公式可知裂項(xiàng)，然后再求解和。
(1)①∵a₁＝1，d＝2，
∴S_n＝na₁＋＝n²，
＝n＋≥2＝16，
當(dāng)且僅當(dāng)n＝，即n＝8時，上式取等號，
故的最小值是16.
②證明：由①知S_n＝n²，
當(dāng)n∈N^*時，，
＋＋…＋
＝＋＋…＋