Question

二次函數(shù)y=f（x）滿足：①f（0）=1；②f（x+1）-f（x）=2x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最大值和最小值；
（3）設g（x）=f（x-a），求g（x）在區(qū)間[-1，1]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）設f（x）=y=ax²+bx+c（a≠0），由f（0）=1可求c，再由f（x+1）-f（x）=2x可求a，b的值，進而可求函數(shù)f（x）
（2）由f(x)=(x-

1

2

)2+

3

4

，x∈[-1，1]，結合二次函數(shù)的圖象可求函數(shù)的最值
（3）由g（x）=f（x-a）=x²-（2a+1）x+a²+a+1，x∈[-1，1]，對稱軸為：x=a+

1

2

，故需要考慮對稱軸與區(qū)間[-1，1]的位置關系，從而可討論①當a+

1

2

≥0；②當a+

1

2

＜0時分別進行求解

解答：解：（1）設f（x）=y=ax²+bx+c（a≠0）（1分）
由f（0）=1得，c=1（2分）
因為f（x+1）-f（x）=2x
所以a（x+1）²+b（x+1）-ax²-bx=2x，
即2ax+a+b=2x（4分）
所以

2a=2 a+b=0

⇒

a=1 b=-1

所以f（x）=x²-x+1（16分）
（2）∵f(x)=(x-

1

2

)2+

3

4

，x∈[-1，1]
當x=

1

2

時，ymin=

3

4

，（8分）
當x=-1時，y_max=3．（10分）
（3）∵g（x）=f（x-a）=x²-（2a+1）x+a²+a+1，x∈[-1，1]
對稱軸為：x=a+

1

2

①當a+

1

2

≥0時，即：a≥-

1

2

；如圖：
g（x）_max=g（-1）=a²+3a+3（13分）
②當a+

1

2

＜0時，即：a＜-

1

2

；如圖：
g（x）_max=g（1）=a²-a+1（15分）
綜上所述：g(x)max=

a2+3a+3 a2-a+1，

(a≥- 1 2 ) (a＜- 1 2 )

（16分）
（注：分四種情況討論的每種（1分），總結論2分）

點評：本題主要考查了由二次函數(shù)的性質求解二次函數(shù)的解析式及二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的求解，要注意分類討論思想在解題中的應用，而討論的根本思想在于判斷二次函數(shù)的對稱軸與所給區(qū)間的位置關系．