Question

二次函數(shù)y=f（x）的圖象的一部分如圖所示．
（Ⅰ）根據(jù)圖象寫出f（x）在區(qū)間[-1，4]上的值域；
（Ⅱ）根據(jù)圖象求y=f（x）的解析式；
（Ⅲ）試求k的范圍，使方程f（x）-k=0在（-1，4]上的解集恰為兩個元素的集合．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)圖象的最低點(diǎn)與最高點(diǎn)得出f（x）的值域．
（Ⅱ）由圖象與x軸交點(diǎn)，用待定系數(shù)法求出f（x）的解析式．
（Ⅲ）方法1，構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-k，判定二次函數(shù)g（x）在（-1，4]上有兩個零點(diǎn)即可；
方法2，由原方程的解與函數(shù)y=x²-2x-3，x∈（-1，4]和y=k的圖象的交點(diǎn)有兩個，結(jié)合圖象得出結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）由圖象知，圖象最低點(diǎn)f（1）=-4，最高點(diǎn)f（4）=5，
∴f（x）在區(qū)間[-1，4]上的值域?yàn)閇-4，5]．
（Ⅱ）根據(jù)圖象設(shè)y=a（x+1）（x-3），
即y=a（x²-2x-3），
因?yàn)閳D象過點(diǎn)（1，-4），所以a（1-2-3）=-4．
解得a=1．
所以二次函數(shù)的解析式為y=f（x）=x²-2x-3．
（Ⅲ）方法1：設(shè)g（x）=f（x）-k=x²-2x-3-k，
依條件有

f(-1)＞0 f(4)≥0 △＞0

，
即

1+2-3-k＞0 16-8-3-k≥0 4+4(3+k)＞0

，
解得-4＜k＜0；
∴k的取值范圍是{k|-4＜k＜0}．
方法2：∵原方程的解與兩個函數(shù)y=x²-2x-3，x∈（-1，4]和y=k的圖象的交點(diǎn)構(gòu)成一一對應(yīng)．
∴由圖象知，當(dāng)-4＜k＜0時，原方程在（-1，4]上的解集為兩元素集合，
∴k的取值范圍是{k|-4＜k＜0}．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，解題時能數(shù)形結(jié)合，有助于解題，是中檔題．