Question

【題目】已知點在橢圓： 上， 是橢圓的一個焦點．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）橢圓C上不與點重合的兩點， 關(guān)于原點O對稱，直線， 分別交軸于， 兩點．求證：以為直徑的圓被直線截得的弦長是定值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）見解析．

【解析】試題分析：（Ⅰ）依題意，得到，利用定義得到，即可求解橢圓的標準方程；

（Ⅱ）設(shè)， ，根據(jù)直線方程，求解的坐標，可得，利用 ，求得的值，即可得到弦長為定值．

試題解析：

（Ⅰ）依題意，橢圓的另一個焦點為，且．

因為，

所以， ，

所以橢圓的方程為．

（Ⅱ）證明：由題意可知， 兩點與點不重合．

因為， 兩點關(guān)于原點對稱，

所以設(shè)， ， ．

設(shè)以為直徑的圓與直線交于兩點，

所以．

直線： ．

當時， ，所以．

直線： ．

當時， ，所以．

所以， ，

因為，所以，

所以．

因為，即， ，

所以，所以．

所以， ， 所以．

所以以為直徑的圓被直線截得的弦長是定值．