Question

已知定點(diǎn)及橢圓，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于兩點(diǎn).
（Ⅰ）若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，求直線的方程；
（Ⅱ）在軸上是否存在點(diǎn)，使為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

(Ⅰ)，或   (Ⅱ)

（Ⅰ）解：依題意，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，
將代入，消去整理得   ………….. 2分
設(shè) 則   ………….. 4分
由線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，  得，解得，適合.  ….. 5分
所以直線的方程為，或.  ….. 6分
（Ⅱ）解：假設(shè)在軸上存在點(diǎn)，使為常數(shù).
①當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，由（Ⅰ）知   
所以
                       ………….. 8分
將代入，整理得

注意到是與無(wú)關(guān)的常數(shù)，從而有，此時(shí)  .. 10分
②當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，
當(dāng)時(shí)，亦有                                         
綜上，在軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù). ……………….. 12分