Question

已知定義在（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)f（x），對(duì)?x∈（0，+∞），都有f[f（x）-log₃ x]=4，則函數(shù)g（x）=f（x-1）-f′（x-1）-3的零點(diǎn)所在區(qū)間是（　　）

• A、（1，2）
• B、（2，3）
• C、（

  1

  2

  ，1）
• D、（0，

  1

  2

  ）

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由?x∈（0，+∞），都有f[f（x）-log₃ x]=4，可設(shè)f（x）-log₃ x=c（c為常數(shù)），求出g（x）的解析式，并說(shuō)明g（x）的單調(diào)性，計(jì)算g（2），g（3），確定符號(hào)，由零點(diǎn)存在定理即可得到答案．

解答： 解：∵對(duì)?x∈（0，+∞），都有f[f（x）-log₃ x]=4，
∴可設(shè)f（x）-log₃ x=c（c為常數(shù)），則f（x）=log₃ x+c，
∴f[f（x）-log₃ x]=f（c）=log₃c+c=4，∴c=3，
∴f（x）=log₃ x+3，
∴g（x）=f（x-1）-f′（x-1）-3=log₃（x-1）-

1

x-1

log₃e在（1，+∞）上為增函數(shù)，
g（2）=-log₃e＜0，g（3）=log₃2-

1

2

log₃e=log₃

2

e

＞0，
由零點(diǎn)存在定理得，函數(shù)g（x）的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（2，3）．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)的判斷，考查應(yīng)用零點(diǎn)存在定理判斷函數(shù)的零點(diǎn)所在范圍，同時(shí)考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算和函數(shù)的單調(diào)性，是一道函數(shù)綜合題．