Question

已知兩點M（0，1）N（0，-1），平面上動點P（x，y）滿足．
（Ⅰ）求動點P（x，y）的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)Q（0，m），R（0，-m）（m≠0）是y軸上兩點，過Q作直線與曲線C交于A、B兩點，試證：直線RA、RB與y軸所成的銳角相等；
（Ⅲ）．在Ⅱ的條件中，若m＜0，直線AB的斜率為1，求△RAB面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根足．把M，N和p的坐標(biāo)代入整理得x²=4y，進(jìn)而可得P點的軌跡方程．
（2）設(shè)直線l的方程，與拋物線方程聯(lián)立消去y，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根據(jù)韋達(dá)定理可得x₁+x₂和x₁x₂，要證明直線RA、RB與y軸所成的銳角相等，只要證明k_RA+k_RB=0，進(jìn)而表示出兩直線斜率，相加正好得0．
（3）根據(jù)斜率為1可得直線AB的方程，與拋物線方程聯(lián)立消去y，根據(jù)判別式大于0求得m的范圍，根據(jù)x₁+x₂和x₁x₂，表示出|AB|．記點R到AB的距離為d，，進(jìn)而表示出△RAB面積，判別出關(guān)于m的函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求得△RAB面積的最大值．
解答：解：（Ⅰ）∵，
∴
化簡整理得x²=4y∴動點P（x，y）的軌跡C為拋物線，其方程為：x²=4y；
（Ⅱ）∵過Q作直線l與拋物線C交于A、B兩點，∴l(xiāng)的斜率k存在
設(shè)直線l：y=kx+m與x²=4y聯(lián)立，
消去y得x²-4kx-4m=0，
則此方程有兩個不相等的實數(shù)根，
∴△=16k²+16m＞0，*
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=4k，x₁x₂-4m，
要證直線RA、RB與y軸所成的銳角相等，
只要證明k_RA+k_RB=0
∵，
∴
=
=，
∴命題成立．
Ⅲ．若直線AB的斜率k=1，
∴直線x-y+m=0，由Ⅱ．知消去y得x²-4x-4m=0，
由*式△＞0得m＞-1，∴-1＜m＜0，
且x₁+x₂=4，x₁x₂-4m，
記點R到AB的距離為d，，
，
設(shè)f（m）=m³+m²f′（m）=3m²+2m令f′（x）＞0知f（m）
在遞增，在遞減，
∴當(dāng)時f（m）有最大值，故S_△RAB最大值為．
點評：本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線與拋物線的關(guān)系．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是歷年高考命題的熱點．在近幾年的高考中，每年風(fēng)格都在變換，考查思維的敏捷性，在探索中求創(chuàng)新．