Question

已知兩點M（0，-

3

）和N（0，

3

），若直線上存在點P，使

.

PM

.

-

.

PN

.

=2，則稱該直線為“和諧直線”．現(xiàn)給出下列直線：①x=2；②x-2y-3=0；③y=

2

2

x；④2x+3y-1=0，其中為“和諧直線”的是

 

（請寫出符合題意的所有編號）．

Answer 1

分析：由題意可知點P必在雙曲線y2-

x2

2

=1，把所給的直線方程與此雙曲線的方程聯(lián)立，只要有解就說明此直線是“和諧直線”．否則就不是．

解答：解：由題意可知點P必在雙曲線y2-

x2

2

=1，
①聯(lián)立

2y2-x2=2 x=2

，解得

x=2 y=± 3

，∴直線x=2上存在點P(2，±

2

)滿足題意，故直線x=2是“和諧直線”．
②聯(lián)立

2y2-x2=2 x-2y-3=0

，且y＞0，消去x得到2y²+12y+11=0，△=12²-4×2×11=56＞0，但是

y1+y2=-6 y1y2= 11 2

因此此方程的y無大于0的解，∴此直線上存不在點P滿足題意，故此直線不是“和諧直線”．
③聯(lián)立

2y2-x2=2 y= 2 2 x

，消去y化為0=2，∴此方程組無解，∴直線y=

2

2

x上不存在點P滿足題意，故此直線不是“和諧直線”．
①聯(lián)立

2y2-x2=2 2x+3y-1=0

，解得

x=-4 y=3

，∴此直線上存在點P（-4，3）滿足題意，故此直線是“和諧直線”．
綜上可知：只有①④正確．
故答案為①④．

點評：由題意正確得出雙曲線的方程和理解“和諧直線”的意義是解題的關(guān)鍵．