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        1. 已知兩點(diǎn)M(0,1)N(0,-1),平面上動點(diǎn)P(x,y)滿足|
          NM
          |•|
          MP
          |+
          MN
          NP
          =0

          (Ⅰ)求動點(diǎn)P(x,y)的軌跡C的方程;
          (Ⅱ)設(shè)Q(0,m),R(0,-m)(m≠0)是y軸上兩點(diǎn),過Q作直線與曲線C交于A、B兩點(diǎn),試證:直線RA、RB與y軸所成的銳角相等;
          (Ⅲ).在Ⅱ的條件中,若m<0,直線AB的斜率為1,求△RAB面積的最大值.
          分析:(1)先根足|
          NM
          |•|
          MP
          |+
          MN
          NP
          =0
          .把M,N和p的坐標(biāo)代入整理得x2=4y,進(jìn)而可得P點(diǎn)的軌跡方程.
          (2)設(shè)直線l的方程,與拋物線方程聯(lián)立消去y,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),根據(jù)韋達(dá)定理可得x1+x2和x1x2,要證明直線RA、RB與y軸所成的銳角相等,只要證明kRA+kRB=0,進(jìn)而表示出兩直線斜率,相加正好得0.
          (3)根據(jù)斜率為1可得直線AB的方程,與拋物線方程聯(lián)立消去y,根據(jù)判別式大于0求得m的范圍,根據(jù)x1+x2和x1x2,表示出|AB|.記點(diǎn)R到AB的距離為d,dR-AB=
          2
          |m|
          ,進(jìn)而表示出△RAB面積,判別出關(guān)于m的函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而可求得△RAB面積的最大值.
          解答:解:(Ⅰ)∵|
          NM|
          •|
          MP|
          +
          MN
          NP
          =0

          2
          x2+(y-1)2
          +(0,-2)•(x,y+1)=0

          化簡整理得x2=4y∴動點(diǎn)P(x,y)的軌跡C為拋物線,其方程為:x2=4y;
          (Ⅱ)∵過Q作直線l與拋物線C交于A、B兩點(diǎn),∴l(xiāng)的斜率k存在
          設(shè)直線l:y=kx+m與x2=4y聯(lián)立,
          y=kx+m
          x2=4y

          消去y得x2-4kx-4m=0,
          則此方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,
          ∴△=16k2+16m>0,*
          設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
          則x1+x2=4k,x1x2-4m,
          要證直線RA、RB與y軸所成的銳角相等,
          只要證明kRA+kRB=0
          y1=
          x
          2
          1
          4
          y2=
          x
          2
          2
          4

          kRA+kRB=
          y1+m
          x1
          +
          y2+m
          x2

          =
          x
          2
          1
          4
          +m
          x1
          +
          x
          2
          2
          4
          +m
          x2
          =
          x1
          4
          +
          m
          x1
          +
          x2
          4
          +
          m
          x2

          =
          1
          4
          (x1+x2)+
          m(x1+x2)
          x1x2
          =(x1+x2)(
          1
          4
          +
          m
          -4m
          )=0
          ,
          ∴命題成立.
          Ⅲ.若直線AB的斜率k=1,
          ∴直線x-y+m=0,由Ⅱ.知消去y得x2-4x-4m=0,
          由*式△>0得m>-1,∴-1<m<0,
          且x1+x2=4,x1x2-4m|AB|=
          1+k2
          (x1+x2)2-4x1x2
          =4
          2(1+m)

          記點(diǎn)R到AB的距離為d,dR-AB=
          2
          |m|

          S△RAB=
          1
          2
          |AB|•d=4
          1+m
          |m|=4
          m3+m2

          設(shè)f(m)=m3+m2f′(m)=3m2+2m令f′(x)>0知f(m)
          (-1,-
          2
          3
          )
          遞增,在(-
          2
          3
          ,0)
          遞減,
          ∴當(dāng)m=-
          2
          3
          時f(m)有最大值,故S△RAB最大值為
          8
          3
          9
          點(diǎn)評:本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線與拋物線的關(guān)系.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是歷年高考命題的熱點(diǎn).在近幾年的高考中,每年風(fēng)格都在變換,考查思維的敏捷性,在探索中求創(chuàng)新.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P(x,y)滿足約束條件:
          7x-5y-23≤0
          x+7y-11≤0
          4x+y+10≥0

          (1)在給定的坐標(biāo)系中畫出滿足約束條件的可行域 (用陰影表示,并注明邊界的交點(diǎn));
          (2)設(shè)u=
          y+7
          x+4
          ,求u的取值范圍;
          (3)已知兩點(diǎn)M(2,1),O(0,0),求
          OM
          OP
          的最大值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知點(diǎn)M(0,-1),直線l:y=mx+1與曲線C:ax2+y2=2(m,a∈R)交于A、B兩點(diǎn).
          (1)當(dāng)m=0時,有∠AOB=
          π
          3
          ,求曲線C的方程;
          (2)當(dāng)實(shí)數(shù)a為何值時,對任意m∈R,都有
          OA
          OB
          =-2
          成立.
          (3)設(shè)動點(diǎn)P滿足
          MP
          =
          OA
          +
          OB
          ,當(dāng)a=-2,m變化時,求|OP|的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知兩點(diǎn)M(0,-
          3
          )和N(0,
          3
          ),若直線上存在點(diǎn)P,使
          .
          PM 
            
          .
          -
          .
          PN 
            
          .
          =2,則稱該直線為“和諧直線”.現(xiàn)給出下列直線:①x=2;②x-2y-3=0;③y=
          2
          2
          x;④2x+3y-1=0,其中為“和諧直線”的是
           
          (請寫出符合題意的所有編號).

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010年北京市順義區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

          已知兩點(diǎn)M(0,1)N(0,-1),平面上動點(diǎn)P(x,y)滿足
          (Ⅰ)求動點(diǎn)P(x,y)的軌跡C的方程;
          (Ⅱ)設(shè)Q(0,m),R(0,-m)(m≠0)是y軸上兩點(diǎn),過Q作直線與曲線C交于A、B兩點(diǎn),試證:直線RA、RB與y軸所成的銳角相等;
          (Ⅲ).在Ⅱ的條件中,若m<0,直線AB的斜率為1,求△RAB面積的最大值.

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          同步練習(xí)冊答案