Question

平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知以O(shè)為圓心的圓與直線l：y=mx+（3-4m）恒有公共點(diǎn)，且要求使圓O的面積最小．
（1）寫出圓O的方程；
（2）圓O與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，圓內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P使、、成等比數(shù)列，求的范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)已知直線必過定點(diǎn)，而要使面積最小則定點(diǎn)一定在圓上，此時(shí)易求出圓的方程；
（2）根據(jù)圓與x軸相交，求出AB兩點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)P在圓內(nèi)以及由使、、成等比數(shù)列分別求出一個(gè)關(guān)系式，兩個(gè)關(guān)系式聯(lián)立即可求出y²的取值范圍，最終判斷出的取值范圍
解答：解：（1）∵直線方程為y=mx+（3-4m）
∴易得l過定點(diǎn)T（4，3）
由題意，要使圓O的面積最小，定點(diǎn)T（4，3）在圓上
∴圓O的方程為：x²+y²=25
（2）∵圓O與x軸相交于A、B兩點(diǎn)
故A（-5，0） B（5，0）
設(shè)P（x，y）為圓內(nèi)任意一點(diǎn)
故：x²+y²＜25            ①
，
由使、、成等比數(shù)列得：
=•
∴x²+y²=•
整理得：x²-y²=         ②
由①②得：
0≤y²≤
=（x²-25）+y²=2y²-
∴∈[-，0）．
點(diǎn)評：本題考查向量的取值范圍問題，涉及到直線與圓的位置關(guān)系，以及等比數(shù)列問題．通過圓內(nèi)任意點(diǎn)坐標(biāo)滿足的兩個(gè)關(guān)系最終確定向量的取值范圍，屬于難題．