Question

【題目】已知橢圓： 過點(diǎn)，點(diǎn)， 是橢圓上異于長軸端點(diǎn)的兩個點(diǎn)．

（1）求橢圓的離心率；

（2）已知直線： ，且，垂足為， ，垂足為，若且，求中點(diǎn)的軌跡方程．

Answer 1

【答案】(1) ;(2) 點(diǎn)的軌跡方程為（）.

【解析】試題分析：（1）點(diǎn)帶入橢圓方程，解得，易得橢圓的離心率；（2）由，且，易得： .分類討論直線AB的斜率情況，

聯(lián)立橢圓方程，易得： ，借助韋達(dá)定理，易得（）.

試題解析：

（1）依題意， ，解得，

故橢圓的方程為，則其離心率為．

（2）設(shè)直線與軸相交于點(diǎn)， ， ，

由于，即，且，

得， （舍去）或，

即直線經(jīng)過點(diǎn)，設(shè)， ， 的中點(diǎn)，

①直線垂直于軸時，則的重?fù)?dān)為；

②直線與軸不垂直時，設(shè)的方程為，則

整理得，

， ， ，

消去，整理得（）．經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)也滿足此方程．

綜上所述，點(diǎn)的軌跡方程為（）．