【題目】如圖，已知四棱錐
，
，平面
平面
，且
，
．
（1）證明：
平面；
（2）求直線
與平面
所成角的正弦值．
【答案】（1）證明見解析；（2）
.
【解析】
（1）分別取
，
的中點
，
，連結
，
，
，要證
平面
，需證明
，
，其中可通過證明
平面
來證明，通過證明
平面
來證明；
（2）以A為坐標原點，建立空間直角坐標系，求出面
的一個法向量以及直線
的方向向量，求出兩向量的夾角的余弦值即為直線與平面
所成角的正弦值.
（1）證明：分別取，的中點，，連結，，.
因
，為的中點，
故
.
同理，
，
.
故平面.
故.
因平面
平面，平面
平面
，
平面，，
故平面.
則.
又，是平面中的相交直線，
故平面.
（2）由（1）知，面
，又
∥
，
面
.
如圖，以A為坐標原點，建立空間直角坐標系，
不妨設
，則
，
，
，
，
，
則
，
，
.
設
是面的一個法向量，
則
，即
，
取
，則
.
設直線與平面所成的角為
，
則
，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
發(fā)散思維新課堂系列答案科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，以
為極點，
軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
；直線
的參數(shù)方程為
（
為參數(shù)），直線與曲線分別交于
，
兩點.
（1）寫出曲線的直角坐標方程和直線的普通方程；
（2）若點
的極坐標為
，
，求
的值.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】橢圓
的離心率是
，過點
做斜率為
的直線
，橢圓
與直線交于
兩點，當直線垂直于
軸時
．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）當變化時，在
軸上是否存在點
，使得
是以
為底的等腰三角形，若存在求出
的取值范圍，若不存在說明理由．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知公差不為零的等差數(shù)列{an}滿足：a3+a8＝20，且a5是a2與a14的等比中項．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）設數(shù)列{bn}滿足
，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】業(yè)界稱“中國芯”迎來發(fā)展和投資元年，某芯片企業(yè)準備研發(fā)一款產品，研發(fā)啟動時投入資金為
(為常數(shù))元,之后每年會投入一筆研發(fā)資金,
年后總投入資金記為
,經計算發(fā)現(xiàn)當
時,近似地滿足
，其中
為常數(shù),
.已知
年后總投入資金為研發(fā)啟動時投入資金的倍．問
（1）研發(fā)啟動多少年后,總投入資金是研發(fā)啟動時投入資金的
倍;
（2）研發(fā)啟動后第幾年的投入資金的最多.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】對于函數(shù)
,若存在區(qū)間
,使得
,則稱函數(shù)為“可等域函數(shù)”,區(qū)間
為函數(shù)的一個“可等域區(qū)間”.給出下列四個函數(shù):
①
;
②
;
③
;
④
.
其中存在唯一“可等域區(qū)間”的“可等域函數(shù)”的序號是________.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，OM，ON是兩條海岸線，Q為海中一個小島，A為海岸線OM上的一個碼頭．已知
，
，Q到海岸線OM，ON的距離分別為3 km，
km．現(xiàn)要在海岸線ON上再建一個碼頭，使得在水上旅游直線AB經過小島Q．
（1）求水上旅游線AB的長；
（2）若小島正北方向距離小島6 km處的海中有一個圓形強水波P，從水波生成t h時的半徑為
（a為大于零的常數(shù)）．強水波開始生成時，一游輪以
km/h的速度自碼頭A開往碼頭B，問實數(shù)a在什么范圍取值時，強水波不會波及游輪的航行．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐S-ABCD中，四邊形ABCD菱形，
,平面
平面 ABCD，
.E，F 分別是線段 SC，AB 上的一點, 
.
（1）求證：
平面SAD;
（2）求平面DEF與平面SBC所成銳二面角的正弦值.
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