Question

【題目】已知函數(shù)

（I）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（II）設(shè).如果對(duì)任意，，求的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)a≥0時(shí)，＞0，故f(x)在(0,+)單調(diào)增加；

當(dāng)a≤－1時(shí)，＜0, 故f(x)在(0,+)單調(diào)減少；

當(dāng)－1＜a＜0時(shí)，f(x)在（0,）單調(diào)增加，在（，+）

（2）a≤－2

【解析】

(Ⅰ) f(x)的定義域?yàn)?/span>(0,+)，.

當(dāng)a≥0時(shí)，＞0，故f(x)在(0,+)單調(diào)增加；

當(dāng)a≤－1時(shí)，＜0, 故f(x)在(0,+)單調(diào)減少；

當(dāng)－1＜a＜0時(shí)，令＝0,解得x=.當(dāng)x∈(0,)時(shí),＞0；

x∈(，+)時(shí)，＜0, 故f(x)在（0,）單調(diào)增加，在（，+）單調(diào)減少.

(Ⅱ)不妨假設(shè)x1≥x2.由于a≤－2,故f(x)在（0，+）單調(diào)減少.

所以等價(jià)于

≥4x1－4x2,，即f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1.

令g(x)=f(x)+4x,則+4＝.

于是≤＝≤0.

從而g(x)在（0，+）單調(diào)減少，故g(x1) ≤g(x2)，

即f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2，故對(duì)任意x1,x2∈(0,+) ，.