Question

（本小題滿(mǎn)分12分）如圖，在三棱柱中，面，，，分別為，的中點(diǎn)．
（1）求證：∥平面； （2）求證：平面；
（3）直線(xiàn)與平面所成的角的正弦值．

Answer 1

（1）證明：連結(jié)，與交于點(diǎn)，連結(jié)．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823190542246209.gif" style="vertical-align:middle;" />，分別為和的中點(diǎn)， 所以∥．
又平面，平面， 所以∥平面．            
（2）證明：在直三棱柱中， 平面，又平面，
所以． 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823190542651312.gif" style="vertical-align:middle;" />，為中點(diǎn)， 所以．
又， 所以平面．
又平面，所以．
因?yàn)樗倪呅?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823190542745339.gif" style="vertical-align:middle;" />為正方形，，分別為，的中點(diǎn)，
所以△≌△，．
所以．
所以． 又， 所以平面．   
（3）設(shè)CE與C₁D交于點(diǎn)M，連AM
由（2）知點(diǎn)C在面AC₁D上的射影為M，故∠CAM為直線(xiàn)AC與面AC₁D所成的角，又A₁C₁//AC
所以∠CAM亦為直線(xiàn)A₁C₁與面AC₁D所成的角。
易求得

略