Question

【題目】如圖在四棱錐中,底面為矩形,,,平面平面,為等腰直角三角形,且,為底面的中心.

(1)求異面直線與所成角的余弦值;

(2)若為中點(diǎn),在棱上,若,,且二面角的正弦值為,求實(shí)數(shù)的值.

Answer 1

【答案】（1）.（2）.

【解析】

（1）根據(jù)面面，，得到面，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，得到，的坐標(biāo)，根據(jù)向量夾角公式，得到異面直線與所成角的余弦值；（2）設(shè)，從而得到點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合（1）取平面的法向量，求出平面的法向量為，通過法向量表示出二面角的余弦值，根據(jù)其正弦值為，列出關(guān)于的方程，求出的值.

（1）∵為等腰直角三角形，

∴，

∵面面，

面面，面

∴面，

∵底面為矩形， 所以，，三條線兩兩垂直.

以為原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，

知，，，，，

，，

，

所以異面直線與所成角的余弦值為.

（2）結(jié)合（1）知，面，

取平面的法向量.

∵，，，

∴，∴，

設(shè)平面的法向量為，

又，，

，即，

令，得，

又因為二面角的正弦值為，

所以，

而，

即，

解得.