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        1. 我們稱離心率的橢圓叫做“黃金橢圓”,若為黃金橢圓,以下四個命題:
          (1)長半軸長a,短半軸長b,半焦距c成等比數(shù)列.
          (2)一個長軸頂點與其不同側的焦點以及一個短軸頂點構成直角三角形.
          (3)以兩條通經(jīng)的4個端點為頂點的四邊形為正方形.
          (4)P、Q為橢圓上任意兩點,M為PQ中點,只要PQ與OM的斜率存在,必有kPQ•kOM的定值.
          其中正確命題的序號為   
          【答案】分析:(1)利用橢圓的離心率及參數(shù)a、b、c的關系即可判斷出;
          (20利用兩點間的距離公式及(1)的距離即可得出;
          (3)把x=±c代入橢圓方程即可得出四個交點的坐標,進而判斷出答案;
          (4)利用“差點法”及斜率計算公式即可得出.
          解答:解:(1)∵離心率=,不妨設a=2,c=,則b2=a2-c2==ac,∴長半軸長a,短半軸長b,半焦距c成等比數(shù)列,故正確;
          (2)取A(a,0),B(0,b),焦點F(-c,0),而|BF|2+|BA|2=b2+c2+a2+b2=2a2+b2,|AF|2=(a+c)2=a2+2ac+c2=a2+2b2+c2=2a2+b2,
          ∴|BF|2+|BA|2=|AF|2,∴AB⊥BF,∴一個長軸頂點與其不同側的焦點以及一個短軸頂點構成直角三角形,故正確;
          (3)把x=c代入橢圓方程得,解得=±c.故正確.
          (4)設P(x1,y1),Q(x2,y2),線段PQ的中點M(x,y),
          ,,將兩式相減得,∴=0,又,∴,為定值.
          綜上可知:(1)(2)(3)(4)都正確.
          故答案為:(1)(2)(3)(4).
          點評:熟練掌握橢圓的離心率及參數(shù)a、b、c的關系、兩點間的距離公式、正方形的定義、“差點法”及斜率計算公式是解題的關鍵.
          練習冊系列答案
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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          我們稱離心率e=
          5
          -1
          2
          的橢圓叫做“黃金橢圓”,若
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>0,b>0)
          為黃金橢圓,以下四個命題:
          (1)長半軸長a,短半軸長b,半焦距c成等比數(shù)列.
          (2)一個長軸頂點與其不同側的焦點以及一個短軸頂點構成直角三角形.
          (3)以兩條通經(jīng)的4個端點為頂點的四邊形為正方形.
          (4)P、Q為橢圓上任意兩點,M為PQ中點,只要PQ與OM的斜率存在,必有kPQ•kOM的定值.
          其中正確命題的序號為
          (1)(2)(3)(4)
          (1)(2)(3)(4)

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          科目:高中數(shù)學 來源:湖南省長沙市一中2010屆高三上學期第二次月考(數(shù)學文) 題型:022

          我們稱離心率的橢圓叫做“黃金橢圓”,若為黃金橢圓,以下四個命題:

          (1)長半軸長a,短半軸長b,半焦距c成等比數(shù)列.

          (2)一個長軸頂點與其不同側的焦點以及一個短軸頂點構成直角三角形.

          (3)以兩條通經(jīng)的4個端點為頂點的四邊形為正方形.

          (4)P、Q為橢圓上任意兩點,M為PQ中點,只要PQ與OM的斜率存在,必有kpQ·kOM的定值.

          其中正確命題的序號為________

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

          我們稱離心率數(shù)學公式的橢圓叫做“黃金橢圓”,若數(shù)學公式為黃金橢圓,以下四個命題:
          (1)長半軸長a,短半軸長b,半焦距c成等比數(shù)列.
          (2)一個長軸頂點與其不同側的焦點以及一個短軸頂點構成直角三角形.
          (3)以兩條通經(jīng)的4個端點為頂點的四邊形為正方形.
          (4)P、Q為橢圓上任意兩點,M為PQ中點,只要PQ與OM的斜率存在,必有kPQ•kOM的定值.
          其中正確命題的序號為________.

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          科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:填空題

          我們稱離心率e=
          5
          -1
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          的橢圓叫做“黃金橢圓”,若
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>0,b>0)
          為黃金橢圓,以下四個命題:
          (1)長半軸長a,短半軸長b,半焦距c成等比數(shù)列.
          (2)一個長軸頂點與其不同側的焦點以及一個短軸頂點構成直角三角形.
          (3)以兩條通經(jīng)的4個端點為頂點的四邊形為正方形.
          (4)P、Q為橢圓上任意兩點,M為PQ中點,只要PQ與OM的斜率存在,必有kPQ•kOM的定值.
          其中正確命題的序號為______.

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